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孫子算經

《孫子算經》三卷,案《隋書·經籍志》有《孫子算經》二卷,不著其名,亦不著其時代。《唐書·藝文志》稱李淳風注甄鸞《孫子算經》三卷。于孫子上冠以甄鸞,蓋如淳風之注《周髀算經》,因鸞所注更加辨論也。《隋書》論審度引《孫子算術》,蠶所生吐絲為忽,十忽為秒,十秒為毫,十毫為厘,十厘為分,本書乃作十忽為一絲,十絲為一毫。又論嘉量引《孫子算術》,六粟為圭,十圭為秒,十秒為撮,十撮為勺,十勺為合。本書乃作十圭為一撮,十撮為一秒,十秒為一勺。考之夏侯陽《算經》引田曹、倉曹亦如本書,而《隋書》中所引與史傳往往多合。蓋古書傳本不一,校訂之儒各有據證,無妨參差互見也。唐之選舉,算學孫子、五曹共限一歲習肄,於後來諸算術中特為近古,第不知孫子何許人。朱彝尊《曝書亭集·五曹算經跋》雲,相傳其法出於孫武,然孫子別有《算經》,考古者存其說可爾。又有《孫子算經》跋雲,首言度量所起,合乎兵法地生度,度生量,量生數之文。次言乘除之法設為之數,十三篇中所雲廓地、分利、委積、遠輸、貴賤、兵役、分數比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均輸、盈不足之目,往往相符,而要在得算多,多自然勝。以是知此編非偽托也云云。合二跋觀之,彝尊之意蓋以為確出於孫武。今考書內設問有雲,長安洛陽相去九百里。又雲,佛書二十九章,章六十三字,則後漢明帝以後人語。孫武春秋末人,安有是語乎?舊本久佚。今從《永樂大典》所載裒集編次,仍為三卷。其甄、李二家之注則不可復考,是則姚廣孝等割裂刊削之過矣。

原序

孫子曰:夫算者:天地之經緯,群生之元首,五常之本末,陰陽之父母,星辰之建號,三光之表裡,五行之准平,四時之終始,萬物之祖宗,六藝之綱紀。稽群倫之聚散,考二氣之降升,推寒暑之迭運,步遠近之殊同,觀天道精微之兆基,察地理從橫之長短,采神祇之所在,極成敗之符驗。窮道德之理,究性命之情。立規矩,准方圓,謹法度,約尺丈,立權衡,平重輕,剖毫釐,析泰絫。歷億載而不朽,施八極而無疆。散之者,富有餘;背之者,貧且寠。心開者,幼沖而即悟;意閉者,皓首而難精。夫欲學之者,必務量能揆己,志在所專,如是,則焉有不成者哉!

卷上

度之所起,起于忽。欲知其忽,蠶吐絲為忽,十忽為一絲,十絲為一毫,十毫為一氂,十氂為一分,十分為一寸,十寸為一尺,十尺為一丈,十丈為一引,五十引為一端,四十尺為一匹,六尺為一步,二百四十步為一畝,三百步為一里。

  稱之所起,起于黍。十黍為一絫,十絫為一銖,二十四銖為一兩,十六兩為一筋,三十筋為一鈞,四鈞為一石。

  量之所起,起于粟。六粟為一圭,十圭為一撮,十撮為一抄,十抄為一勺,十勺為一合,十合為一升,十升為一斗,十斗為一斛,十斛得六千萬粟。所以得知者,六粟為一圭,十圭六十粟為一撮,十撮六百粟為一抄,十抄六千粟為一勺,十勺六萬粟為一合,十合六十萬粟為一升,十升六百萬粟為一斗,十斗六千萬粟為一斛,十斛六億粟百,斛六兆粟,千斛六京粟,萬斛六陔粟,十萬斛六秭粟,百萬斛六穣粟,千萬斛六溝粟,萬萬斛為一億六澗粟,十億斛六正粟,百億斛六載粟。

  凡大數之法:萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬兆曰京,萬萬京曰陔,萬萬陔曰秭,萬萬秭曰穣,萬萬穣曰溝,萬萬溝曰澗,萬萬澗曰正,萬萬正曰載。

  周三,徑一,方五,邪七。見邪求方,五之,七而一;見方求邪,七之,五而一。

  白銀方寸重一十四兩。

  玉方寸重一十兩。

  銅方寸重七兩半。

  鉛方寸重九兩半。

  鐵方寸重七兩。

  石方寸重三兩。

  凡算之法:先識其位,一從十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當。(案:萬百原本訛作百萬,今據《夏侯陽算經》改正。)

  凡乘之法:重置其位,上下相觀,頭位有十步,至十有百步,至百有千步,至千以上命下所得之數列于中。言十即過,不滿,自如頭位。乘訖者,先去之下位;乘訖者,則俱退之。六不積,五不只。上下相乘,至盡則已。

  凡除之法:與乘正異乘得在中央,除得在上方,假令六為法,百為實,以六除百,當進之二等,令在正百下。以六除一,則法多而實少,不可除,故當退就十位,以法除實,言一六而折百為四十,故可除。若實多法少,自當百之,不當復退,故或步法十者,置於十百位(頭位有空絕者,法退二位。)余法皆如乘時,實有餘者,以法命之,以法為母,實余為子。

  以粟求糲米,三之,五而一。

  以糲米求粟,五之,三而一。

  以糲米求飯,五之,二而一。

  以粟米求糲飯,六之,四而一。

  以糲飯求糲米,二之,五而一。

  以□米求飯,八之,四而一。

  十分減一者,以二乘二十除;減二者,以四乘二十除;減三者,以六乘二十除;減四者,以八乘二十除;減五者,以十乘二十除;減六者,以十二乘二十除;減七者,以十四乘二十除;減八者,以十六乘二十除;減九者,以十八乘二十除。

  九分減一者,以二乘十八除。

  八分減一者,以二乘十六除。

  七分減一者,以二乘十四除。

  六分減一者,以二乘十二除。

  五分減一者,以二乘十除。

  九九八十一,自相乘得幾何?答曰:六千五百六十一。

  術曰:重置其位,以上八呼下八,八八六十四即下,六千四百于中位;以上八呼下一,一八如八,即于中位下八十,退下位一等,收上頭位八十(案:原本脫「上」字,今補。)以上位一(案:上位原本訛作「頭位」,今改正。)呼下八,一八如八,即于中位,下八十;以上一呼下一,一一如一,即于中位下一,上下位俱收中位,即得六千五百六十一。

  六千五百六十一,九人分之。問:人得幾何?答曰:七百二十九。

  術曰:先置六千五百六十一于中位,為實,下列九人為法,頭位置七百(案:原本脫上字,今補。),以上七呼下九,七九六十三,即除中位六千三百,退下位一等,即上位,置二十(案:上位原本訛作頭位,今改正。),以上二呼下九,二九一十八,即除中位一百八十,又更退下位一等,即上位,更置九(案:上位原本亦訛作頭位,今改正。),即以上九呼下九,九九八十一,即除中位八十一,中位並盡,收下位,頭位所得即人之所得,自八八六十四至一一如一,並准此。

  八九七十二,自相乘,得五千一百八十四,八人分之,人得六百四十八。

  七九六十三,自相乘,得三千九百六十九,七人分之,人得五百六十七。

  六九五十四,自相乘,得二千九百一十六,六人分之,人得四百八十六。

  五九四十五,自相乘,得二千二十五,五人分之,人得四百五。

  四九三十六,自相乘,得一千二百九十六,四人分之,人得三百二十四。

  三九二十七,自相乘,得七百二十九,三人分之,人得二百四十三。

  二九一十八,自相乘,得三百二十四,二人分之,人得一百六十二。

  一九如九,自相乘,得八十一,一人得八十一。

  右九九一條,得四百五,自相乘,得一十六萬四千二十五,九人分之,人得八千二百二十五。

  八八六十四,自相乘,得四千九十六,八人分之,人得五百一十二。

  七八五十六,自相乘,得三千一百三十六,七人分之,人得四百四十八。

  六八四十八,自相乘,得二千三百四,六人分之,人得三百八十四。

  五八四十,自相乘,得一千六百,五人分之,人得三百二十。

  四八三十二,自相乘,得一千二十四,四人分之,人得二百五十六。

  三八二十四,自相乘,得五百七十六,三人分之,人得一百九十二。

  二八十六,自相乘,得二百五十六,二人分之,人得一百二十八。

  一八如八,自相乘,得六十四,一人得六十四。

  右八八一條,得二百八十八,自相乘,得八萬二千九百四十四,八人分之,人得一萬三百六十八。

  七七四十九,自相乘,得二千四百一,七人分之,人得三百四十三。

  六七四十二,自相乘,得一千七百六十四,六人分之,人得二百九十四。

  五七三十五,自相乘,得一千二百二十五,五人分之,人得二百四十五。

  四七二十八,自相乘,得七百八十四,四人分之,人得一百九十六。

  三七二十一,自相乘,得四百四十一,三人分之,人得一百四十七。

  二七一十四,自相乘,得一百九十六,二人分之,人得九十八。

  一七如七,自相乘,得四十九,一人得四十九。

  右七七一條,得一百九十六,自相乘,得三萬八千四百一十六,七人分之,人得五千四百八十八。

  六六三十六,自相乘,得一千二百九十六,六人分之,人得二百一十六。

  五六三十,自相乘,得九百,五人分之,人得一百八十。

  四六二十四,自相乘,得五百七十六,四人分之,人得一百四十四。

  三六一十八,自相乘,得三百二十四,三人分之,人得一百八。

  二六一十二,自相乘,得一百四十四,二人分之,人得七十二。

  一六如六,自相乘,得三十六,一人得三十六。

  右六六一條,得一百二十六,自相乘,得一萬五千八百七十六,六人分之,人得二千六百四十六。

  五五二十五,自相乘,得六百二十五,五人分之,人得一百二十五。

  四五二十,自相乘,得四百,四人分之,人得一百。

  三五一十五,自相乘,得二百二十五,三人分之,人得七十五。

  二五一十,自相乘,得一百,二人分之,得五十。

  一五如五,自相乘,得二十五,一人得二十五。

  右五五一條,得七十五,自相乘,得五千六百二十五,五人分之,人得一千一百二十五。

  四四一十六,自相乘,得二百五十六,四人分之,人得六十四。

  三四一十二,自相乘,得一百四十四,三人分之,人得四十八。

  二四如八,自相乘,得六十四,二人分之,人得三十二。

  一四如四,自相乘,得一十六,一人得一十六。

  右四四一條,得四十,自相乘,得一千六百,四人分之,人得四百。

  三三如九,自相乘,得八十一,三人分之,人得二十七。

  二三如六,自相乘,得三十六,二人分之,人得一十八。

  一三如三,自相乘,得九,一人得九。

  右三三一條,得一十八,自相乘,得三百二十四,三人分之,人得一百八。

  二二如四,自相乘,得一十六,二人分之,人得八。

  一二如二,自相乘,得四,一人得四。

  右二二一條,得六,自相乘,得三十六,二人分之,人得一十八。

  一一如一,自相乘,得一,一乘不長。

  右從九九至一一,總成一千一百五十五,自相乘,得一百三十三萬四千二十五,九人分之,人得一十四萬八千二百二十五。

  以九乘一十二,得一百八,六人分之,人得一十八。

  以二十七乘三十六,得九百七十二,一十八人分之,人得五十四。

  以八十一乘一百八,得八千七百四十八,五十四人分之,人得六十二。

  以二百四十三乘三百二十四,得七萬八千七百三十二,一百六十二人分之,人得四百八十六。

  以七百二十九乘九百七十二,得七十萬八千五百八十八,四百八十六人分之,人得一千四百五十八。

  以二千一百八十七乘二千九百一十六,得六百三十七萬七千二百九十二,一千四百五十八人分之,得四千三百七十四。

  以六千五百六十一乘八千七百四十八,得五千七百三十九萬五千六百二十八,四千三百七十四人分之,人得一萬三千一百二十二。

  以一萬九千六百八十三乘二萬六千二百四十四,得五億一千六百五十六萬六百五十二,一萬三千一百二十二人分之,人得三萬九千三百六十六。

  以五萬九千四十九乘七萬八千七百三十二,得四十六億四千九百四萬五千八百六十八,三萬九千三百六十六人分之,人得一十一萬八千九十八。

  以一十七萬七千一百四十七乘二十三萬六千一百九十六,得四百一十八億四千一百四十一萬二千八百一十二,一十一萬八千九十八人分之,得三十五萬四千二百九十四。

  以五十三萬一千四百四十一乘七十萬八千五百八十八,得三千七百六十五億七千二百七十一萬五千三百八,三十五萬四千二百九十四人分之,人得一百六萬二千八百八十二。

卷中

今有一十八分之一十二。問:約之得幾何?答曰:三分之二。

  術曰:置十八分在下,一十二分在上,副置二位以少減多,等數得六為法,約之即得。

  今有三分之一、五分之二。問:合之二得幾何?答曰:一十五分之十一。

  術曰:置三分五分在右方,之一之二在左方,母互乘子,五分之二得六,三分之一得五,並之,得一十一為實;又方二母相乘,得一十五為法。不滿法,以法命之,即得。

  今有九分之八,減其五分之一。問:余幾何?答曰:四十五分之三十一。

  術曰:置九分五分在右方,之八之一在左方,母互乘子,五分之一得九,九分之八得四十,以少減多,余三十一,為實;母相乘,得四十五,為法。不滿法,以法命之,即得。

  今有三分之一,三分之二,四分之三。問:減多益少,幾何而平?答曰:減四分之三者二,減三分之二者一,並以益三分之一,而各平于一十二分之七。

  術曰:置三分三分四分在右方,之一之二之三在左方,母互乘子,副並得六十三。置右為平實,母相乘得三十六,為法,以列數三乘未並者,及法等數,得九約訖,減四分之三者二,減三分之二者一,並以益三分之一,各平于一十二分之七。

  今有粟一斗。問:為糲米幾何?答曰:六升。

  術曰:置粟一斗十升,以糲米率三十乘之,得三百升為實,以粟率五十為法,除之,即得。

  今有粟二斗一升。問:為稗米幾何?答曰:一斗一升五十分升之一十七。

  術曰:置粟數二十一升,以稗米率二十七乘之,得五百六十七升,為實;以粟率五十為法,除之不盡,以法而命分。

  今有粟四斗五升。問:為□米幾何?答曰:二斗一升五分升之三。

  術曰:置粟四十五升,以二約□米率二十四,得一十二,乘之,得五百四十升,為實;以二約粟率,五十得二十五,為法,除之,不盡,以等數約之,而命分。

  今有粟七斗九升。問:為御米幾何?答曰:三斗三升一合八勺。

  術曰:置七斗九升以御米率二十一乘之,得一千六百五十九,為實,以粟率五十除之,即得。

  今有屋基,南北三丈,東西六丈,欲以磚瓦砌之,凡積二尺,用磚五枚。問:計幾何?答曰:四千五百枚。

  術曰:置東西六丈,以南北三丈乘之,得一千八百尺;以五乘之,得九千尺;以二除之,即得。

  今有圓窖,下周二百八十六尺,深三丈六尺。問:受粟幾何?答曰:一十五萬一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。

  術曰:置周二百八十六尺,自相乘得八萬一千七百九十六尺,以深三丈六尺乘之,得二百九十四萬四千六百五十六;以一十二除之,得二十四萬五千三百八十八尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。

  今有方窖,廣四丈六尺,長五丈四尺,深三丈五尺。問:受粟幾何?答曰:五萬三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。

  術曰:置廣四丈六尺,長五丈四尺,相乘得二千四百八十四尺;以深三丈五尺乘之,得八萬六千九百四十尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。

  今有圓窖,周五丈四尺,深一丈八尺。問:受粟幾何?答曰:二千七百斛。

  術曰:先置周五丈四尺相乘,得二千九百一十六尺,以深一丈八尺乘之,得五萬二千四百八十八尺;以一十二除之,得四千三百七十四尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。

  今有圓田周三百步,徑一百步。問:得田幾何?答曰:三十一畝,奇六十步。

  術曰:先置周三百步,半之,得一百五十步;又置徑一百步半之,得五十步,相乘,得七千五百步,以畝法二百四十步除之,即得。

  又術曰:周自相乘,得九萬步,以十二除之,得七千五百步,以畝法除之,得畝數。

  又術曰:徑自乘,得一萬,以三乘之,得三萬步,四除之,得七千五百步,以畝法除之,得畝數。

  今有方田桑生中央,從角至桑,一百四十七步。問:為田幾何?答曰:一頃八十三畝,奇一百八十步。

  術曰:置角至桑一百四十七步,倍之,得二百九十四步,以五乘之,得一千四百七十步,以七除之,得二百一十步,自相乘,得四萬四千一百步,以二百四十步除之,即得。

  今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚。問:得幾何?答曰:二百一十六枚。

  術曰:置方三尺,自相乘,得九尺,以高三尺乘之,得二十七尺,以一尺木八枕乘之,即得。

  今有索,長五千七百九十四步,以四除之,得一千四百四十八步,余二步,以六因之,得一丈二尺,以四除之,得三尺,通計即得。

  今有堤,下廣五丈,上廣三丈,高二丈,長六十尺,欲以一千尺作一方。問:計幾何?答曰:四十八方。

  術曰:置堤,上廣三丈,下廣五丈。並之,得八丈;半之,得四丈。以二丈乘之,得八百尺;以長六十尺乘之,得四萬八千;以一千尺除之(案:原本訛作乘,今改正。),即得。

  今有溝,廣十丈,深五丈,長二十丈,欲以千尺作一方。問:得幾何?答曰:一千方。

  術曰:置廣一十丈,以深五丈乘之,得五千尺,又以長二十丈乘之,得一百萬尺,以一千除之,即得。

  今有積,二十三萬四千五百六十七步。問:為方几何?答曰:四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

  術曰:置積二十三萬四千五百六十七步,為實,次借一算為下法,步之超一位至百而止。上商置四百于實之上(案:上商原本脫上字,今補。),副置四萬于實之下。下法之商,名為方法;命上商四百除實,除訖,倍方法,方法一退(案:原本脫方法二字,今補。),下法再退,復置上商八十以次前商,副置八百于方法之下。下法之上,名為廉法;方廉各命上商八十以除實(案:原本脫實字,今補。),除訖(案:原本脫除字,今補。),倍廉法,從方法,方法一退,下法再退,復置上商四以次前,副置四于方法之下。下法之上,名曰隅法;方廉隅各命上商四以除實,除訖,倍隅法,從方法(案:原本訛此六字,今據術補。),上商得四百八十四,下法得九百六十八,不盡三百一十一,是為方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

  今有積,三萬五千步。問為圓幾何?答曰:六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。(案:六分步原本訛作七分,脫步字,今補正。)

  術曰:置積三萬五千步以一十二乘之,得四十二萬,為實,次借一算為下法,步之超一位至百而止,上商置六百于實之上,副置六萬于實之下。下法之上,名為方法,命上商六百除實,除訖,倍方法,方法一退,下法再退,復置上商四十以次前商,副置四百于方法之下。下法之上,名為廉法,方廉各命上商四十以除實(案:原本脫四十二字,今補。),除訖,倍廉法,從方法,方法一退,下法再退,復置上商八次前商,副置八于方法之下。下法之上,名為隅法,方廉隅各命上商八以除實,除訖,倍隅法,從方法,上商得六百四十八(案:原本脫得字,今補。),下法得一千二百九十六(案:六原本訛作七,今改正。),不盡九十六,是為方六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。(案:九十六分原本訛作九十七分,今改正。)

  今有邱田周六百三十九,步徑三百八十步。問:為田幾何?答曰:二頃五十二畝二百二十五步。

  術曰:半周得三百一十九步五分半徑,得一百九十步二位相乘,得六萬七百五步,以畝法除之,即得。

  今有築城,上廣二丈,下廣五丈四尺,高三丈八尺,長五千五百五十尺,秋程人功三百尺。問:須功幾何?答曰:二萬六千一十一功。

  術曰:並上下廣,得七十四尺,半之,得三十七尺,以高乘之,得一千四百六尺,又以長乘之,得積七百八十萬三千三百尺,以秋程人功三百尺除之,即得。

  今以穿渠長二十九里一百四步,上廣一丈二尺六寸,下廣八尺深一丈八尺,秋程人功三百尺。問:須功幾何?答曰:三萬二千六百四十五功(案:原本訛作三萬二百六十五人,今據術改正。),不盡六十九尺六寸。

  術曰:置里數以三百步乘之,內零步,六之,得五萬二千八百二十四尺,並上下廣,得二丈六寸,半之,以深乘之,得一百八十五尺四寸,以長乘得九百七十九萬三千五百六十九尺六寸,以人功三百尺除之,即得。

  今有錢六千九百三十,欲令二百一十六人作九分,分之八十一人,人與二分;七十二人,人與三分;六十三人,人與四分。問:三種各得幾何?答曰:二分人得錢二十二,三分人得錢三十三,四分人得錢四十四。

  術曰:先置八十一人于上,七十二人次之,六十三人在下,頭位以二乘之,得一百六十二,次位以三乘之,得二百一十六,下位以四乘之,得二百五十二,副並三位,得六百三十為法。又置錢六千九百三十為三位頭位,以一百六十二乘之,得一百一十二萬二千六百六十,又以二百一十六乘中位,得一百四十九萬六千八百八十,又以二百五十二乘下位,得一百七十四萬六千三百六十,各為實以法,六百三十各除之,頭位得一千七百八十二,中位得二千三百七十六,下位得二千七百七十二,各以人數除之,即得。

  今有五等諸侯,共分橘子六十顆,人別加三顆。問:五人各得幾何?答曰:公一十八顆,侯一十五顆,伯一十二顆,子九顆,男六顆。

  術曰:先置人數別加三顆于下,次六顆,次九顆,次一十二顆,上十五顆,副並之,得四十五,以減六十顆,餘人數除之,得人三顆,各加不並者,上得一十八顆為公分,次得一十五為侯分,次得一十二為伯分,次得九為子分,下得六為男分。

  今有甲乙丙三人持錢,甲語乙丙:各將公等所持錢半以益我錢成九十。乙復語甲丙:各將公等所持錢,半以益我,錢成七十。丙復語甲乙:各將公等所持錢,半以益我,錢成五十六。問:三人元持錢各若干?答曰:甲七十二,乙三十二,丙四。

  術曰:先置三人所語為位,以三乘之,各為積,甲得二百七十,乙得二百一十,丙得八十四,又置甲九十,乙七十,丙五十六,各半之,以甲乙減丙,以甲丙減乙,以乙丙減甲,即各得元數。

  今有女子善織,日自倍,五日織通五尺。問:日織幾何?答曰:初日織一寸三十一分寸之一十九,次日織三寸三十一分寸之七,次日織六寸三十一分寸之一十四,次日織一尺二寸三十一分寸之二十八,次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。

  術曰:各置列衰副,並得三十一為法,以五尺乘並者,各自為實,實如法而一,即得。

  今有人盜庫絹,不知所失幾何?但聞草中分絹,人得六匹,盈六匹;人得七匹,不足七匹。問人、絹各幾何?答曰:賊一十三人,絹八十四匹。

  術曰:先置人得六匹于右上,盈六匹于右下,後置人得七匹於左上,不足七匹於左下,維乘之所得,並之為絹,並盈不足為人。

卷下

今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共輸租,甲出三十五斛,乙出四十六斛,丙出五十七斛,丁出六十八斛,戊出七十九斛,己出八十斛,庚出一百斛,辛出二百一十斛,壬出三百二十五斛,凡九家,共輸租一千斛,僦運直折二百斛外。問:家各幾何?答曰:甲二十八斛,乙三十六斛八斗,丙四十五斛六斗,丁五十四斛四斗,戊六十三斛二斗,己六十四斛,庚八十斛,辛一百六十八斛,壬二百六十斛。

  術曰:置甲出三十五斛,以四乘之,得一百四十斛;以五除之,得二十八斛。乙出四十六斛,以四乘之,得一百八十四斛;以五除之,得三十六斛八斗。丙出五十七斛,以四乘之,得二百二十八斛;以五除之,得四十五斛六斗。丁出六十八斛,以四乘之,得二百七十二斛;以五除之,得五十四斛四斗。戊出七十九斛,以四乘之,得三百一十六斛;以五除之,得六十三斛二斗。己出八十斛,以四乘之,得三百二十斛;以五除之,得六十四斛。庚出一百斛,以四乘之,得四百斛;以五除之,得八十斛。辛出二百一十斛,以四乘之,得八百四十斛;以五除之,得一百六十八斛。壬出三百二十五斛,以四乘之,得一千三百斛;以五除之,得二百六十斛。

  今有丁一千五百萬,出兵四十萬。問:幾丁科一兵?答曰:三十七丁五分。

  術曰:置丁一千五百萬為實,以兵四十萬為法,實如法,即得。

  今有平地聚粟,下周三丈六尺,高四尺五寸。問:粟幾何?答曰:一百斛。

  術曰:置周三丈六尺,自相乘,得一千二百九十六尺,以高四尺五寸,乘之,得五千八百三十二尺,以三十六除之,得一百六十二尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。

  今有佛書,凡二十九章,章六十三字。問:字幾何?答曰:一千八百二十七。

  術曰:置二十九章,以六十三字,乘之,即得。

  今有棋局,方一十九道。問:用棋幾何?答曰:三百六十一。

  術曰:置一十九道,自相乘之,即得。

  今有租,九萬八千七百六十二斛,欲以一車載五十斛。問:用車幾何?答曰:一千九百七十五乘奇一十二斛。

  術曰:置租九萬八千七百六十二斛為實,以一車所載五十斛為法。實如法,即得。

  今有丁九萬八千七百六十六,凡二十五丁出一兵。問:兵幾何?答曰:三千九百五十人奇一十六丁。

  術曰:置丁九萬八千七百六十六為實,以二十五為法。實如法,即得。

  今有絹,七萬八千七百三十二匹,令一百六十二人分之。問:人得幾何?答曰:四百八十六匹。

  術曰:置絹七萬八千七百三十二匹為實,以一百六十二人為法。實如法,即得。

  今有綿,九萬一千一百三十五筋,給與三萬六千四百五十四戶。問:戶得幾何?答曰:二筋八兩。

  術曰:置九萬一千一百三十五筋,為實;以三萬六千四百五十四戶,為法。除之,得二筋,不盡一萬八千二百二十七筋,以一十六乘之,得二十九萬一千六百三十二兩,以戶除之,即得。

  今有粟,三千九百九十九斛九斗六升,凡粟九斗易豆一斛。問:計豆幾何?答曰:四千四百四十四斛四斗。

  術曰:置粟三千九百九十九斛九斗六升為實,以九斗為法。實如法,即得。

  今有粟,二千三百七十四斛,斛加三升。問:共粟幾何?答曰:二千四百四十五斛二斗二升。

  術曰:置粟二千三百七十四斛,以一斛三升乘之,即得。

  今有粟,三十六萬九千九百八十斛七斗,在倉九年,年斛耗三升。問:一年、九年各耗幾何?答曰:一年耗一萬一千九十九斛四斗二升一合,九年耗九萬九千八百九十四斛七斗八升九合。

  術曰:置三十六萬九千九百八十斛七斗,以三升乘之,得一年之耗,又以九乘之,即九年之耗。

  今有貸與人絲五十七筋,限歲出息一十六筋。問:筋息幾何?答曰:四兩五十七分兩之二十八。

  術曰:列限息絲一十六筋,以一十六兩乘之,得二百五十六兩,以貸絲五十七筋除之,不盡,約之,即得。

  今有三人共車,二車空;二人共車,九人步。問:人與車各幾何?答曰:一十五車,三十九人。

  術曰:置二人以三乘之,得六,加步者九人,得車一十五,欲知人者,以二乘車,加九人即得。

  今有粟一十二萬八千九百四十斛九斗三合,出與人買絹一匹,直粟三斛五斗七升。問:絹幾何?答曰:三萬六千一百一十七匹三丈六尺。

  術曰:置粟一十二萬八千九百四十斛九斗三合為實,以三斛五斗七升為法,除之,得匹余四十之所得,又以法除之,即得。

  今有婦人河上盪杯,津吏問曰:「杯何以多?」婦人曰:「家有客。」津吏曰:「客幾何?」婦人曰:「二人共飯,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五,不知客幾何?」答曰:「六十人。」

  術曰:置六十五杯,以十二乘之,得七百八十;以十三除之,即得。

  今有木,不知長短,引繩度之,余繩四尺五寸;屈繩量之,不足一尺。問:幾何?答曰:六尺五寸。

  術曰:置余繩四尺五寸,加不足一尺,共五尺五寸,倍之,得一丈一尺,減四尺五寸,即得。

  今有器中米,不知其數,前人取半,中人三分取一,後人四分取一,余米一斗五升。問:米幾何?答曰:六斗。

  術曰:置余米一斗五升,以六乘之,得九斗;以二除之,得四斗五升;以四乘之,得一斛八斗;以三除之,即得。

  今有黃金一筋直錢一十萬。問:兩直幾何?答曰:六千二百五十錢。

  術曰:置錢一十萬,以一十六兩除之,即得。

  今有錦一匹,直錢一萬八千。問:丈、尺、寸各直幾何?答曰:丈四千五百錢,尺四百五十錢,寸四十五錢。

  術曰:置錢一萬八千,以四除之,得一丈之直;一退再退,得尺寸之直。

  今有地,長一千步,廣五百步,尺有鶉、寸有鷃。問鶉、鷃各幾何?答曰:鶉一千八百萬,鷃一億八千萬。

  術曰:置長一千步,以廣五百步乘之,得五十萬;以三十六乘之,得一千八百萬尺,即得鶉數;上十之,即得鷃數。

  今有六萬口,上口三萬人,日食九升;中口二萬人,日食七升;下口一萬人,日食五升。問:上、中、下口,共食幾何?答曰:四千六百斛。

  術曰:各置口數,以日食之數乘之,所得並之,即得。

  今有方物一束外周,一市有三十二枚。問:積幾何?答曰:八十一枚。

  術曰:重置二位左位減八余加右位,至盡虛加一,即得。

  今有竿,不知長短,度其影,得一丈五尺,別立一表,長一尺五寸,影得五寸。問:竿長幾何?答曰:四丈五尺。

  術曰:置竿影一丈五尺,以表長一尺五寸乘之,上十之,得二十二丈五尺,以表影五寸除之,即得。

  今有物,不知其數。三三數之,剩二;五五數之,剩三;七七數之,剩二。問:物幾何?答曰:二十三。

  術曰:三三數之,剩二,置一百四十;五五數之,剩三,置六十三;七七數之,剩二,置三十。並之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數之,剩一,則置七十五;五五數之,剩一,則置二十一;七七數之,剩一,則置十五。一百六以上,以一百五減之,即得。

  今有獸,六首四足;禽,二首二足,上有七十六首,下有四十六足。問:禽、獸各幾何?答曰:八獸、七禽。

  術曰:倍足以減首,余半之,即獸;以四乘獸,減足,余半之,即禽。

  今有甲乙二人持錢,各不知數。甲得乙中半,可滿四十八;乙得甲大半,亦滿四十八。問:甲乙二人元持錢各幾何?答曰:甲持錢三十六,乙持錢二十四。

  術曰:如方程求之,置二甲一乙錢九十六于右方,置二甲三乙錢一百四十四於左方,以右方二乘左方,上得四,中得六,下得二百八十八錢;以左方二乘右方,上得四,中得二,下得九十六(案:近刻脫此十八字,今據術補。);以右行再減左行,左上空,中余四,以為法,下餘九十六錢,為實;上法下實,得二十四錢,為乙錢,以減右下九十六,余七十二為實,以右上二甲為法,上法下實,得三十六為甲錢也。

  今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡。問:城中家幾何?答曰:七十五家。

  術曰:以盈不足取之,假令七十二家鹿不盡四,令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上,盈四于右下,置九十於左上,不足二十於左下,維乘之所得併為實,並盈不足為法,除之,即得。

  今有三雞共啄粟一千一粒,雛啄一,母啄二,翁啄四。主責本粟,三雞主各償幾何?答曰:雞雛主一百四十三,雞母主二百八十六,雞翁主五百七十二。

  術曰:置粟一千一粒為實,副並三雞所啄粟七粒為法,除之,得一百四十三粒為雞雛主所償之數,遞倍之,即得母、翁主所償之數。

  今有雉、兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問:雉、兔各幾何?答曰:雉二十三,兔一十二。

  術曰:上置三十五頭,下置九十四足。半其足,得四十七,以少減多,再命之,上三除下三,上五除下五,下有一除上一,下有二除上二,即得。

  又術曰:上置頭,下置足,半其足,以頭除足,以足除頭,即得。

  今有九里渠,三寸魚頭,頭相次。問:魚得幾何?答曰:五萬四千。

  術曰:置九里以三百步乘之,得二千七百步;又以六尺乘之,得一萬六千二百尺,上十之,得一十六萬二千寸,以魚三寸除之,即得。

  今有長安、洛陽相去九百里,車輪一匝一丈八尺。欲自洛陽至長安。問:輪匝幾何?答曰:九萬匝。

  術曰:置九百里以三百步乘之,得二十七萬步,又以六尺乘之,得一百六十二萬尺,以車輪一丈八尺為法,除之,即得。

  今有出門望見九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色。問:各幾何?答曰:木八十一枝,七百二十九巢,六千五百六十一禽,五萬九千四十九雛,五十三萬一千四百四十一毛,四百七十八萬二千九百六十九色,四千三百四萬六千七百二十一。

  術曰:置九堤以九乘之,得木之數;又以九乘之,得枝之數;又以九乘之,得巢之數;又以九乘之,得禽之數;又以九乘之,得雛之數;又以九乘之,得毛之數;又以九乘之,得色之數。

  今有三女,長女五日一歸,中女四日一歸,少女三日一歸。問:三女幾何日相會?答曰:六十日。

  術曰:置長女五日,中女四日,少女三日,于右方,各列一算於左方,維乘之,各得所到數。長女十二到,中女十五到,少女二十到,又各以歸日乘到數,即得。

  今有孕婦,行年二十九歲。難九月,未知所生?答曰:生男。

  術曰:置四十九加難月,減行年,所余以天除一,地除二,人除三,四時除四,五行除五,六律除六,七星除七,八風除八,九州除九。其不盡者,奇則為男,耦則為女。




上传人 歡樂魚 分享于 2017-12-22 14:09:58