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  其一術曰:置群物通率為列衰。更置成行群物之數,各以其率乘之,並,以為法。其當相併而行中正負雜者,同名相從,異名相消,余為法。以成行下實乘列衰,各自為實。實如法而一,即得。

  以舊術為之。凡應置五行。今欲要約,先置第三行,減以第四行,又減第五行;次置第二行,以第二行減第一行,又減第四行。去其頭位;余,可半;次置右行及第二行。去其頭位;次以右行去第四行頭位,次以左行去第二行頭位,次以第五行去第一行頭位;次以第二行去第四行頭位;余,可半;以右行去第二行頭位,以第二行去第四行頭位。余,約之為法、實。實如法而一,得六,即有黍價。以法治第二行,得荅價,右行得菽價,左行得麥價,第三行麻價。如此凡用七十七算。

  以新術為此。先以第四行減第三行;次以第三行去右行及第二行、第四行下位,又以減左行下位,不足減乃止;次以左行減第三行下位,次以第三行去左行下位。訖,廢去第三行。次以第四行去左行下位,又以減右行下位;次以右行去第二行及第四行下位;次以第二行減第四行及左行頭位;次以第四行減左行菽位,不足減乃止;次以左行減第二行頭位,余,可再半;次以第四行去左行及第二行頭位,次以第二行去左行頭位,余,約之,上得五,下得三,是菽五當荅;次以左行去第二行菽位,又以減第四行及右行菽位,不足減乃止;次以右行減第二行頭位,不足減乃止;次以第二行去右行頭位,次以左行去右行頭位;余,上得六,下得五,是為荅六當黍五;次以左行去右行荅位,余,約之,上為二,下為一;次以右行去第二行下位,以第二行去第四行下位,又以減左行下位;次,左行去第二行下位,余,上得三,下得四,是為麥三當菽四;次以第二行減第四行下位;次以第四行去第二行下位;余,上得四,下得七,是為麻四當麥七。是為相當之率舉矣。據麻四當麥七,即麻價率七而麥價率四;又麥三當菽四,即為麥價率四而菽價率三;又菽五當荅三,即為菽價率三而荅價率五;又荅六當黍五,即為荅價率五而黍價率六;而率通矣。更置第三行,以第四行減之,余有麻一斗,菽四斗正,荅三斗負,下實四正。求其同為麻之數,以菽率三、荅率五各乘其斗數,如麻率七而一,菽得一斗七分斗之五正,荅得二斗七分斗之一負。則菽、荅化為麻。以並之,令同名相從,異名相消,余得定麻七分斗之四,以為法。置四為實,而分母乘之,實得二十八,而分子化為法矣以法除得七,即麻一斗之價。置麥率四、菽率三、荅率五、黍率六,皆以麻乘之,各自為實。以麻率七為法。所得即各為價。亦可使置本行實與物同通之,各以本率今有之,求其本率所得。並,以為法。如此,即無正負之異矣,擇異同而已。又可以一術為之。置五行通率,為麻七、麥四、菽三、荅五、黍六,以為列衰。成行麻一斗,菽四斗正,荅三斗負,各以其率乘之。訖,令同名相從,異名相消,余為法。又置下實乘列衰,所得各為實。此可以置約法,則不復乘列衰,各以列衰為價。如此則凡用一百二十四算也。〕

  卷九

  ○句股(以御高深廣遠)

  今有句三尺,股四尺,問為弦幾何?答曰:五尺。

  今有弦五尺,句三尺,問為股幾何?答曰:四尺。

  今有股四尺,弦五尺,問為句幾何?答曰:三尺。

  句股〔短面曰句,長面曰股,相與結角曰弦。句短其股,股短其弦。將以施於諸率,故先具此術以見其源也。〕

  術曰:句、股各自乘,並,而開方除之,即弦。

  〔句自乘為朱方,股自乘為青方。令出入相補,各從其類,因就其餘不移動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。〕

  又,股自乘,以減弦自乘。其餘,開方除之,即句。

  〔淳風等按:此術以句、股冪合成弦冪。句方于內,則句短於股。令股自乘,以減弦自乘,余者即句冪也。故開方除之,即句也。〕

  又,句自乘,以減弦自乘。其餘,開方除之,即股。

  〔句、股冪合以成弦冪,令去其一,則余在者皆可得而知之。〕

  今有圓材,徑二尺五寸。欲為方版,令厚七寸,問廣幾何?答曰:二尺四寸。

  術曰:令徑二尺五寸自乘,以七寸自乘,減之。其餘,開方除之,即廣。

  〔此以圓徑二尺五寸為弦,版厚七寸為句,所求廣為股也。〕

  今有木長二丈,圍之三尺。葛生其下,纏木七周,上與木齊。問葛長幾何?答曰:二丈九尺。

  術曰:以七周乘圍為股,木長為句,為之求弦。弦者,葛之長。

  〔據圍廣,求從為木長者其形葛卷裹袤。以筆管,青線宛轉,有似葛之纏木。

  解而觀之,則每周之間自有相間成句股弦。則其間葛長,弦。七周乘圍,併合眾句以為一句;木長而股,短;術雲木長謂之股,言之倒。句與股求弦,亦無圍。弦之自乘冪出上第一圖。句、股冪合為弦冪,明矣。然二冪之數謂倒在於弦冪之中而已。可更相表裡,居里者則成方冪,其居表者則成矩冪。二表裡形訛而數均。又按:此圖句冪之矩青,卷白表,是其冪以股弦差為廣,股弦併為袤,而股冪方其里。股冪之矩青,卷白表,是其冪以句弦差為廣,句弦併為袤,而句冪方其里。是故差之與並用除之,短、長互相乘也。〕

  今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,適與岸齊。問水深、葭長各幾何?答曰:水深一丈二尺。葭長一丈三尺。

  術曰:半池方自乘,〔此以池方半之,得五尺為句;水深為股;葭長為弦。以句、弦見股,故令句自乘,先見矩冪也。〕

  以出水一尺自乘,減之。

  〔出水者,股弦差。減此差冪于矩冪則除之。〕

  余,倍出水除之,即得水深。

  〔差為矩冪之廣,水深是股。令此冪得出水一尺為長,故為矩而得葭長也。〕

  加出水數,得葭長。

  〔淳風等按:此葭本出水一尺,既見水深,故加出水尺數而得葭長也。〕

  今有立木,系索其末,委地三尺。引索卻行,去本八尺而索盡。問索長幾何?答曰:一丈二尺六分尺之一。

  術曰:以去本自乘,〔此以去本八尺為句,所求索者,弦也。引而索盡、開門去閫者,句及股弦差,同一術。去本自乘者,先張矩冪。〕

  令如委數而一。

  〔委地者,股弦差也。以除矩冪,即是股弦並也。〕

  所得,加委地數而半之,即索長。

  〔子不可半者,倍其母。加差者並,則兩長。故又半之。其減差者並,而半之,得木長也。〕

  今有垣高一丈,倚木于垣,上與垣齊。引木卻行一尺,其木至地。問木長幾何?答曰:五丈五寸。

  術曰:以垣高一十尺自乘,如卻行尺數而一。所得,以加卻行尺數而半之,即木長數。

  〔此以垣高一丈為句,所求倚木者為弦,引卻行一尺為股弦差。為術之意與系索問同也。〕

  今有圓材埋在壁中,不知大小。以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺。問徑幾何?答曰:材徑二尺六寸。

  術曰:半鋸道自乘,〔此術以鋸道一尺為句,材徑為弦,鋸深一寸為股弦差之一半。鋸道長是半也。

  淳風等按:下鋸深得一寸為半股弦差。注云為股差差者,鋸道也。〕

  如深寸而一,以深寸增之,即材徑。

  〔亦以半增之。如上術,本當半之,今此皆同半,故不復半也。〕

  今有開門去閫一尺,不合二寸。問門廣幾何?答曰:一丈一寸。

  術曰:以去閫一尺自乘。所得,以不合二寸半之而一。所得,增不合之半,即得門廣。

  〔此去閫一尺為句,半門廣為弦,不合二寸以半之,得一寸為股弦差。求弦,故當半之。今次以兩弦為廣數,故不復半之也。〕

  今有戶高多於廣六尺八寸,兩隅相去適一丈。問戶高、廣各幾何?答曰:廣二尺八寸。高九尺六寸。

  術曰:令一丈自乘為實。半相多,令自乘,倍之,減實。半其餘,以開方除之。所得,減相多之半,即戶廣;加相多之半,即戶高。

  〔令戶廣為句,高為股,兩隅相去一丈為弦,高多於廣六尺八寸為句股差。按圖為位,弦冪適滿萬寸。倍之,減句股差冪,開方除之。其所得即高廣並數。以差減並而半之,即戶廣。加相多之數,即戶高也。今此術先求其半。一丈自乘為朱冪四、黃冪一。半差自乘,又倍之,為黃冪四分之二,減實,半其餘,有朱冪二、黃冪四分之一。其于大方者四分之一。故開方除之,得高廣並數半。減差半,得廣;加,得戶高。又按:此圖冪:句股相併冪而加其差冪,亦減弦冪,為積。蓋先見其弦,然後知其句與股。今適等,自乘,亦各為方,合為弦冪。令半相多而自乘,倍之,又半並自乘,倍之,亦合為弦冪。而差數無者,此各自乘之,而與相乘數,各為門實。及股長句短,同源而分流焉。假令句、股各五,弦冪五十,開方除之,得七尺,有餘一,不盡。假令弦十,其冪有百,半之為句、股二冪,各得五十,當亦不可開。故曰:圓三、徑一,方五、斜七,雖不正得盡理,亦可言相近耳。其句股合而自相乘之冪者,令弦自乘,倍之,為兩弦冪,以減之,其餘,開方除之,為句股差。加於合而半,為股;減差於合而半之,為句。句、股、弦即高、廣、邪。其出此圖也,其倍弦為袤。令矩句即為冪,得廣即句股差。其矩句之冪,倍句為從法,開之亦句股差。以句股差冪減弦冪,半其餘,差為從法,開方除之,即句也。〕

  今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺。問折者高几何?答曰:四尺二十分尺之一十一。

  術曰:以去本自乘,〔此去本三尺為句,折之餘高為股,以先令句自乘之冪。〕

  令如高而一。

  〔凡為高一丈為股弦並,以除此冪得差。〕

  所得,以減竹高而半余,即折者之高也。

  〔此術與系索之類更相反覆也。亦可如上術,令高自乘為股弦並冪,去本自乘為矩冪,減之,余為實。倍高為法,則得折之高數也。〕

  今有二人同所立,甲行率七,乙行率三。乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會。問甲、乙行各幾何?答曰:乙東行一十步半,甲斜行一十四步半及之。

  術曰:令七自乘,三亦自乘,並而半之,以為甲斜行率。斜行率減於七自乘,余為南行率。以三乘七為乙東行率。

  〔此以南行為句,東行為股,斜行為弦,並句弦率七。欲引者,當以股率自乘為冪,如並而一,所得為句弦差率。加並之半為弦率,以差率減,余為句率。如是或有分,當通而約之乃定。術以同使無分母,故令句弦並自乘為朱、黃相連之方。股自乘為青冪之矩,以句弦併為袤,差為廣。今有相引之直,加損同上。其圖大體以兩弦為袤,句弦併為廣。引黃斷其半為弦率。列用率七自乘者,句弦並之率。故弦減之,余為句率。同立處是中停也,皆句弦併為率,故亦以句率同其袤也。〕

  置南行十步,以甲斜行率乘之;副置十步,以乙東行率乘之;各自為實。實如南行率而一,各得行數。

  〔南行十步者,所有見句求見弦、股,故以弦、股率乘,如句率而一。〕

  今有句五步,股十二步。問句中容方几何?答曰:方三步十七分步之九。

  術曰:並句、股為法,句、股相乘為實。實如法而一,得方一步。

  〔句、股相乘為朱、青、黃冪各二。令黃冪袤于隅中,朱、青各以其類,令從其兩徑,共成修之冪:中方黃為廣,並句、股為袤。故並句、股為法。冪圖:方在句中,則方之兩廉各自成小句股,而其相與之勢不失本率也。句面之小句、股,股面之小句、股各併為中率,令股為中率,並句、股為率,據見句五步而今有之,得中方也。復令句為中率,以並句、股為率,據見股十二步而今有之,則中方又可知。此則雖不效而法,實有法由生矣。下容圓率而似今有、衰分言之,可以見之也。〕

  今有句八步,股一十五步。問句中容圓徑幾何?答曰:六步。

  術曰:八步為句,十五步為股,為之求弦。三位並之為法。以句乘股,倍之為實。實如法,得徑一步。

  〔句、股相乘為圖本體,朱、青、黃冪各二。倍之,則為各四。可用畫于小紙,分裁邪正之會,令顛倒相補,各以類合,成修冪:圓徑為廣,並句、股、弦為袤。故並句、股、弦以為法。又以圓大體言之,股中青必令立規于橫廣,句、股又邪三徑均。而復連規,從橫量度句、股,必合而成小方矣。又畫中弦以規除會,則句、股之面中央小句股弦:句之小股、股之小句皆小方之面,皆圓徑之半。其數故可衰。以句、股、弦為列衰,副併為法。以句乘未並者,各自為實。實如法而一,得句面之小股可知也。以股乘列衰為實,則得股面之小句可知。言雖異矣,及其所以成法之實,則同歸矣。則圓徑又可以表之差並:句弦差減股為圓徑;又,弦減句股並,余為圓徑;以句弦差乘股弦差而倍之,開方除之,亦圓徑也。〕

  今有邑方二百步,各中開門。出東門一十五步有木。問出南門幾何步而見木?答曰:六百六十六步大半步。

  術曰:出東門步數為法,〔以句率為法也。〕

  半邑方自乘為實,實如法得一步。

  〔此以出東門十五步為句率,東門南至隅一百步為股率,南門東至隅一百步為見句步。欲以見句求股,以為出南門數。正合半邑方自乘者,股率當乘見句,此二者數同也。〕

  今有邑東西七里,南北九里,各中開門。出東門一十五里有木。問出南門幾何步而見木?答曰:三百一十五步。

  術曰:東門南至隅步數,以乘南門東至隅步數為實。以木去門步數為法。實如法而一。

  〔此以東門南至隅四里半為句率,出東門一十五里為股率,南門東至隅三里半為見股。所問出南門即見股之句。為術之意,與上同也。〕

  今有邑方不知大小,各中開門。出北門三十步有木,出西門七百五十步見木。

  問邑方几何?答曰:一里。

  術曰:令兩出門步數相乘,因而四之,為實。開方除之,即得邑方。

  〔按:半邑方,令半方自乘,出門除之,即步。令二出門相乘,故為半方邑自乘,居一隅之積分。因而四之,即得四隅之積分。故為實,開方除,即邑方也。〕

  今有邑方不知大小,各中開門。出北門二十步有木,出南門一十四步,折而西行一千七百七十五步見木。問邑方几何?答曰:二百五十步。

  術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之,為實。

  〔此以折而西行為股,自木至邑南一十四步為句,以出北門二十步為句率,北門至西隅為股率,半廣數。故以出北門乘折西行股,以股率乘句之冪。然此冪居半,以西行。故又倍之,合東,盡之也。〕

  並出南、北門步數,為從法,開方除之,即邑方。

  〔此術之冪,東西如邑方,南北自木盡邑南十四步之冪,各南北步為廣,邑方為袤,故連兩廣為從法,並,以為隅外之冪也。〕

  今有邑方一十里,各中開門。甲、乙俱從邑中央而出:乙東出;甲南出,出門不知步數,邪向東北,磨邑隅,適與乙會。率:甲行五,乙行三。問甲、乙行各幾何?答曰:甲出南門八百步,邪東北行四千八百八十七步半,及乙。乙東行四千三百一十二步半。

  術曰:令五自乘,三亦自乘,並而半之,為邪行率;邪行率減于五自乘者,余為南行率;以三乘五為乙東行率。

  〔求三率之意與上甲乙同。〕

  置邑方,半之,以南行率乘之,如東行率而一,即得出南門步數。

  〔今半方,南門東至隅五里。半邑者,謂為小股也。求以為出南門步數。故置邑方,半之,以南行句率乘之,如股率而一。〕

  以增邑方半,即南行。

  〔半邑者,謂從邑心中停也。〕

  置南行步,求弦者,以邪行率乘之;求東行者,以東行率乘之,各自為實。

  實如法,南行率,得一步。

  〔此術與上甲乙同。〕

  今有木去人不知遠近。立四表,相去各一丈,令左兩表與所望參相直。從后右表望之,入前右表三寸。問木去人幾何?答曰:三十三丈三尺三寸少半寸。

  術曰:令一丈自乘為實,以三寸為法,實如法而一。

  〔此以入前右表三寸為句率,右兩表相去一丈為股率,左右兩表相去一丈為見句。所問木去人者,見句之股。股率當乘見句,此二率俱一丈,故曰自乘之。

  以三寸為法。實如法得一寸。〕

  今有山居木西,不知其高。山去木五十三里,木高九丈五尺。人立木東三里,望木末適與山峰斜平。人目高七尺。問山高几何?答曰:一百六十四丈九尺六寸太半寸。

  術曰:置木高,減人目高七尺,〔此以木高減人目高七尺,余有八丈八尺,為句率;去人目三里為股率;山去木五十三里為見股,以求句。加木之高,故為山高也。〕

  余,以乘五十三里為實。以人去木三里為法。實如法而一。所得,加木高,即山高。

  〔此術句股之義。〕

  今有井,徑五尺,不知其深。立五尺木于井上,從木末望水岸,入徑四寸。

  問井深幾何?答曰:五丈七尺五寸。

  術曰:置井徑五尺,以入徑四寸減之,余,以乘立木五尺為實。以入徑四寸為法。實如法得一寸。

  〔此以入徑四寸為句率,立木五尺為股率,井徑之餘四尺六寸為見句。問井深者,見句之股也。〕

  今有戶不知高、廣,竿不知長短。橫之不出四尺,從之不出二尺,邪之適出。

  問戶高、廣、邪各幾何?答曰:廣六尺。高八尺。邪一丈。

  術曰:從、橫不出相乘,倍,而開方除之。所得,加從不出,即戶廣;〔此以戶廣為句,戶高為股,戶邪為弦。凡句之在股,或矩于表,或方于里。

  連之者舉表矩而端之。又從句方里令為青矩之表,未滿黃方。滿此方則兩端之邪重於隅中,各以股弦差為廣,句弦差為袤。故兩端差相乘,又倍之,則成黃方之冪。開方除之,得黃方之面。其外之青知,亦以股弦差為廣。故以股弦差加,則為句也。〕

  加橫不出,即戶高;兩不出加之,得戶邪。




上传人 歡樂魚 分享于 2017-12-22 14:58:57