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  是為客用日率也。然則主人用日率者,客馬行率也;客用日率者,主人馬行率也。

  母同則子齊,是為客馬行率五,主人馬行率十三。於今有術,三百里為所有數,十三為所求率,五為所有率,而今有之,即得也。〕

  以三百里乘之,為實。實如法,得主人馬一日行。

  〔欲知主人追客所行里者,以三百里乘客用日分子十三,以母二十四而一,得一百六十二里半。以此乘客馬與主人均行日分母二十四,如客馬與主人均行用日分子五而一,亦得主人馬一日行七百八十里也。〕

  今有金棰,長五尺,斬本一尺,重四斤;斬末一尺,重二斤。問次一尺各重幾何?答曰:末一尺重二斤。次一尺重二斤八兩。次一尺重三斤。次一尺重三斤八兩。次一尺重四斤。

  術曰:令末重減本重,余,即差率也。又置本重,以四間乘之,為下第一衰。

  副置,以差率減之,每尺各自為衰。

  〔按:此術五尺有四間者,有四差也。今本末相減,余即四差之凡數也。以四約之,即得每尺之差。以差數減本重,余即次尺之重也。為術所置,如是而已。

  今此率以四為母,故令母乘本為衰,通其率也。亦可置末重,以四間乘之,為上第一衰。以差重率加之,為次下衰也。〕

  副置下第一衰,以為法。以本重四斤遍乘列衰,各自為實。實如法得一斤。

  〔以下第一衰為法,以本重乘其分母之數,而又反此率乘本重,為實。一乘一除,勢無損益,故惟本存焉。眾衰相推為率,則其餘可知也。亦可副置末衰為法,而以末重二斤乘列衰為實。此雖迂迴,然是其舊。故就新而言之也。〕

  今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何?答曰:甲得一錢六分錢之二。乙得一錢六分錢之一。丙得一錢。丁得六分錢之五。戊得六分錢之四。

  術曰:置錢,錐行衰。

  〔按:此術「錐行」者,謂如立錐:初一、次二、次三、次四、次五,各均,為一列者也。〕

  並上二人為九,並下三人為六。六少於九,三。

  〔數不得等,但以五、四、三、二、一為率也。〕

  以三均加焉,副併為法。以所分錢乘未並者,各自為實。實如法得一錢。

  〔此問者,令上二人與下三人等,上、下部差一人,其差三。均加上部,則得二三;均加下部,則得三三。下部猶差一人,差得三,以通於本率,即上、下部等也。於今有術,副併為所有率,未並者各為所求率,五錢為所有數,而今有之,即得等耳。假令七人分七錢,欲令上二人與下五人等,則上、下部差三人。

  並上部為十三,下部為十五。下多上少,下不足減上。當以上、下部列差而後均減,乃合所問耳。此可仿下術:令上二人分二錢半為上率,令下三人分二錢半為下率。上、下二率以少減多,余為實。置二人、三人,各半之,減五人,余為法。

  實如法得一錢,即衰相去也。下衰率六分之五者,丁所得錢數也。〕

  今有竹九節,下三節容四升,上四節容三升。問中間二節慾均容,各多少?答曰:下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三十九。

  術曰:以下三節分四升為下率,以上四節分三升為上率。

  〔此二率者,各其平率也。〕

  上、下率以少減多,余為實。

  〔按:此上、下節各分所容為率者,各其平率。上、下以少減多者,余為中間五節半之凡差,故以為實也。〕

  置四節、三節,各半之,以減九節,余為法。實如法得一升。即衰相去也。

  〔按此術法者,上下節所容已定之節,中間相去節數也;實者,中間五節半之凡差也。故實如法而一,則每節之差也。〕

  下率一升少半升者,下第二節容也。

  〔一升少半升者,下三節通分四升之平率。平率即為中分節之容也。〕

  今有鳧起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今鳧、雁俱起,問何日相逢?答曰:三日十六分日之十五。

  術曰:並日數為法,日數相乘為實,實如法得一日。

  〔按:此術置鳧七日一至,雁九日一至。齊其至,同其日,定六十三日鳧九至,雁七至。今鳧、雁俱起而問相逢者,是為共至。並齊以除同,即得相逢日。

  故「並日數為法」者,並齊之意;「日數相乘為實」者,猶以同為實也。一曰:鳧飛日行七分至之一,雁飛日行九分至之一。齊而同之,鳧飛定日行六十三分至之九,雁飛定日行六十三分至之七。是為南北海相去六十三分,鳧日行九分,雁日行七分也。並鳧、雁一日所行,以除南北相去,而得相逢日也。〕

  今有甲髮長安,五日至齊;乙發齊,七日至長安。今乙發已先二日,甲乃髮長安,問幾何日相逢?答曰:二日十二分日之一。

  術曰:並五日、七日,以為法。

  〔按:此術「並五日、七日為法」者,猶並齊為法。置甲五日一至,乙七日一至。齊而同之,定三十五日甲七至,乙五至。並之為十二至者,用三十五日也。

  謂甲、乙與發之率耳。然則日化為至,當除日,故以為法也。〕

  以乙先發二日減七日,〔「減七日」者,言甲、乙俱發,今以發為始發之端,于本道里則余分也。〕

  也。

  余,以乘甲日數為實。

  〔七者,長安去齊之率也;五者,后發相去之率也。今問后發,故舍七用五。

  以乘甲五日,為二十五日。言甲七至,乙五至,更相去,用此二十五日也。

  實如法得一日。

  〔一日甲行五分至之一,乙行七分至之一。齊而同之,甲定日行三十五分至之七,乙定日行三十五分至之五。是為齊去長安三十五分,甲日行七分,乙日行五分也。今乙先行發二日,已行十分,余,相去二十五分。故減乙二日,余,令相乘,為二十五分。〕

  今有一人一日為牝瓦三十八枚,一人一日為牡瓦七十六枚。今令一人一日作瓦,牝、牡相半,問成瓦幾何?答曰:二十五枚少半枚。

  術曰:並牝、牡為法,牝、牡相乘為實,實如法得一枚。

  〔此意亦與鳧雁同術。牝、牡瓦相併,猶如鳧、雁日飛相併也。按:此術「並牝、牡為法」者,並齊之意;「牝、牡相乘為實」者,猶以同為實也。故實如法,即得也。〕

  今有一人一日矯矢五十,一人一日羽矢三十,一人一日摐矢十五。今令一人一日自矯、羽、摐,問成矢幾何?答曰:八矢少半矢。

  術曰:矯矢五十,用徒一人;羽矢五十,用徒一人太半人;摐矢五十,用徒三人少半人。並之,得六人,以為法。以五十矢為實。實如法得一矢。

  〔按:此術言成矢五十,用徒六人,一日工也。此同工其作,猶鳧、雁共至之類,亦以同為實,並齊為法。可令矢互乘一人為齊,矢相乘為同。今先令同於五十矢。矢同則徒齊,其歸一也。——以此術為鳧雁者,當雁飛九日而一至,鳧飛九日而一至七分至之二。並之,得二至七分至之二,以為法。以九日為實。——實如法而一,得一人日成矢之數也。〕

  今有假田,初假之歲三畝一錢,明年四畝一錢,後年五畝一錢。凡三歲得一百。問田幾何?答曰:一頃二十七畝四十七分畝之三十一。

  術曰:置畝數及錢數。令畝數互乘錢數,並,以為法。畝數相乘,又以百錢乘之,為實。實如法得一畝。

  〔按:此術令畝互乘錢者,齊其錢;畝數相乘者,同其畝。同於六十,則初假之歲得錢二十,明年得錢十五,後年得錢十二也。凡三歲得錢一百,為所有數,同畝為所求率,四十七錢為所有率,今有之,即得也。齊其錢,同其畝,亦如鳧雁術也。於今有術,百錢為所有數,同畝為所求率,並齊為所有率。

  淳風等按:假田六十畝,初歲得錢二十,明年得錢十五,後年得錢十二。

  並之,得錢四十七。是為得田六十畝,三歲所假。於今有術,百錢為所有數,六十畝為所求率,四十七為所有率,而今有之,即合問也。〕

  今有程耕,一人一日發七畝,一人一日耕三畝,一人一日耰種五畝。今令一人一日自發、耕、耰種之,問治田幾何?答曰:一畝一百一十四步七十一分步之六十六。

  術曰:置發、耕、耰畝數,令互乘人數,並,以為法。畝數相乘為實。實如法得一畝。

  〔此猶鳧雁術也。

  淳風等按:此術亦發、耕、耰種畝數互乘人者,齊其人;畝數相乘者,同其畝。故並齊為法,以同為實。計田一百五畝,發用十五人,耕用三十五人,種用二十一人。並之,得七十一工。治得一百五畝,故以為實。而一人一日所治,故以人數為法除之,即得也。〕

  今有池,五渠注之。其一渠開之,少半日一滿,次一日一滿,次二日半一滿,次三日一滿,次五日一滿。今皆決之,問幾何日滿池?答曰:七十四分日之十五。

  術曰:各置渠一日滿池之數,並,以為法。

  〔按:此術其一渠少半日滿者,是一日三滿也;次一日一滿;次二日半滿者,是一日五分滿之二也;次三日滿者,是一日三分滿之一也;次五日滿者,是一日五分滿之一也。並之,得四滿十五分滿之十四也。〕

  以一日為實,實如法得一日。

  〔此猶矯矢之術也。先令同於一日,日同則滿齊。自鳧雁至此,其為同齊有二術焉,可隨率宜也。〕

  其一術:各置日數及滿數。

  〔其一渠少半日滿者,是一日三滿也;次一日一滿;次二日半滿者,是五日二滿;次三日一滿,次五日一滿。此謂之列置日數及滿數也。〕

  令日互相乘滿,並,以為法。日數相乘為實。實如法得一日。

  〔亦如鳧雁術也。按:此其一渠少半日滿池者,是一日三滿池也;次一日一滿;次二日半滿者,是五日再滿;次三日一滿;次五日一滿。此謂列置日數于右行,及滿數於左行。以日互乘滿者,齊其滿;日數相乘者,同其日。滿齊而日同,故並齊以除同,即得也。〕

  今有人持米出三關,外關三而取一,中關五而取一,內關七而取一,余米五斗。問本持米幾何?答曰:十斗九升八分升之三。

  術曰:置米五斗,以所稅者三之,五之,七之,為實。以余不稅者二、四、六相互乘為法。實如法得一斗。

  〔此亦重今有也。所稅者,謂今所當稅之。定三、五、七皆為所求率,二、四、六皆為所有率。置今有餘米五斗,以七乘之,六而一,即內關未稅之本米也。

  又以五乘之,四而一,即中關未稅之本米也。又以三乘之,二而一,即外關未稅之本米也。今從末求本,不問中間,故令中率轉相乘而同之,亦如絡絲術。

  又一術:外關三而取一,則其餘本米三分之二也。求外關所稅之餘,則當置一,二分乘之,三而一。欲知中關,以四乘之,五而一。欲知內關,以六乘之,七而一。凡余分者,乘其母、子:以三、五、七相乘得一百五,為分母;二、四、六相乘,得四十八,為分子。約而言之,則是余米于本所持三十五分之十六也。

  於今有術,余米五斗為所有數,分母三十五為所求率,分子十六為所有率也。〕

  今有人持金出五關,前關二而稅一,次關三而稅一,次關四而稅一,次關五而稅一,次關六而稅一。並五關所稅,適重一斤。問本持金幾何?答曰:一斤三兩四銖五分銖之四。

  術曰:置一斤,通所稅者以乘之,為實。亦通其不稅者,以減所通,余為法。

  實如法得一斤。

  〔此意猶上術也。「置一斤,通所稅者」,謂令二、三、四、五、六相乘,為分母,七百二十也。「通其所不稅者」,謂令所稅之餘一、二、三、四、五相乘,為分子,一百二十也。約而言之,是為余金于本所持六分之一也。以子減母,凡五關所稅六分之五也。於今有術,所稅一斤為所有數,分母六為所求率,分子五為所有率。此亦重今有之義。又雖各有率,不問中間,故令中率轉相乘而連除之,即得也。置一以為持金之本率,以稅率乘之、除之,則其率亦成積分也。〕

  卷七

  ○盈不足(以御隱雜互見)

  今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四。問人數、物價各幾何?答曰:七人。物價五十三。

  今有共買雞,人出九,盈一十一;人出六,不足十六。問人數、雞價各幾何?答曰:九人。雞價七十。

  今有共買琎,人出半,盈四;人出少半,不足三。問人數、琎價各幾何?答曰:四十二人。琎價十七。

  〔注云「若兩設有分者,齊其子,同其母」,此問兩設俱見零分,故齊其子,同其母。又雲「令下維乘上。訖,以同約之」,不可約,故以乘,同之。〕

  今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十。問家數、牛價各幾何?答曰:一百二十六家。牛價三千七百五十。

  〔按:此術並盈不足者,為眾家之差,故以為實。置所出率,各以家數除之,各得一家所出率。以少減多者,得一家之差。以除,即家數。以出率乘之,減盈,故得牛價也。〕

  術曰:置所出率,盈不足各居其下。令維乘所出率,並,以為實。並盈、不足,為法。實如法而一。

  〔按:盈者,謂朓;不足者,謂之朒;所出率謂之假令。盈、朒維乘兩設者,欲為同齊之意。據「共買物,人出八,盈三;人出七,不足四」,齊其假令,同其盈、朒,盈、朒俱十二。通計齊則不盈不朒之正數,故可並之為實,並盈、不足為法。齊之三十二者,是四假令,有盈十二;齊之二十一者,是三假令,亦朒十二;並七假令合為一實,故並三、四為法。〕

  有分者通之。

  〔若兩設有分者,齊其子,同其母。令下維乘上,訖,以同約之。〕

  盈不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。實為物價,法為人數。

  〔「所出率以少減多」者,余,謂之設差,以為少設。則並盈、朒,是為定實。故以少設約定實,則法,為人數;適足之實故為物價。盈朒當與少設相通。不可遍約,亦當分母乘,設差為約法、實。〕

  其一術曰:並盈、不足為實。以所出率,以少減多,余為法。實如法得一人。

  以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。

  〔此術意謂盈不足為眾人之差。以所出率以少減多,余為一人之差。以一人之差約眾人之差,故得人數也。〕

  今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。問人數、金價各幾何?答曰:三十三人。金價九千八百。

  今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。問人數、羊價各幾何?答曰:二十一人。羊價一百五十。

  術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,以少減多,余為實。

  兩盈、兩不足以少減多,余為法。實如法而一。有分者,通之。兩盈兩不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。實為物價,法為人數。

  〔按:此術兩不足者,兩設皆不足於正數。其所以變化,猶兩盈。而或有勢同而情違者。當其為實,俱令不足維乘相減,則遺其所不足焉。故其餘所以為實者,無朒數以損焉。蓋出而有餘,兩盈。兩設皆逾于正數。假令與共買物,人出八,盈三;人出九,盈十。齊其假令,同其兩盈。兩盈俱三十。舉齊則兼去。

  其餘所以為實者,無盈數。兩盈以少減多,余為法。齊之八十者,是十假令;而凡盈三十者,是十,以三之;齊之二十七者,是三假令;而凡盈三十者,是三,以十之。今假令兩盈共十、三,以三減十,余七,為一實。故令以三減十,余七為法。所出率以少減多,余謂之設差。因設差為少設,則兩盈之差是為定實。故以少設約法得人數,約實即得金數。〕

  其一術曰:置所出率,以少減多,余為法。兩盈、兩不足以少減多,余為實。

  實如法而一,得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。

  〔「置所出率,以少減多」,得一人之差。兩盈、兩不足相減,為眾人之差。

  故以一人之差除之,得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。〕

  今有共買犬,人出五,不足九十;人出五十,適足。問人數、犬價各幾何?答曰:二人。犬價一百。

  今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數、豕價各幾何?答曰:一十人。豕價九百。

  術曰:以盈及不足之數為實。置所出率,以少減多,余為法。實如法得一人。

  其求物價者,以適足乘人數,得物價。

  〔此術意謂以所出率,以少減多者,余是一人不足之差。不足數為眾人之差。

  以一人差約之,故得人之數也。以盈及不足數為實者,數單見,即眾人差,故以為實。所出率以少減多,即一人差,故以為法。以除眾人差,得人數。以適足乘人數,即得物價也。〕

  今有米在十斗桶中,不知其數。滿中添粟而舂之,得米七斗。問故米幾何?答曰:二斗五升。

  術曰:以盈不足術求之。假令故米二斗,不足二升;令之三斗,有餘二升。

  〔按:桶受一斛,若使故米二斗,須添粟八斗以滿之。八斗得糲米四斗八升,課於七斗,是為不足二升。若使故米三斗,須添粟七斗以滿之。七斗得糲米四斗二升,課於七斗,是為有餘二升。以盈不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。為齊同者,齊其假令,同其盈朒。通計齊即不盈不朒之正數,故可以並之為實,並盈、不足為法。實如法,即得故米斗數,乃不盈不朒之正數也。〕

  今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長七寸;瓠生其下,蔓日長一尺。問幾何日相逢?瓜、瓠各長幾何?答曰:五日十七分日之五。瓜長三尺七寸一十七分寸之一。瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。

  術曰:假令五日,不足五寸;令之六日,有餘一尺二寸。

  〔按:「假令五日,不足五寸」者,瓜生五日,下垂蔓三尺五寸;瓠生五日,上延蔓五尺;課于九尺之垣,是為不足五寸。「令之六日,有餘一尺二寸」者,若使瓜生六日,下垂蔓四尺二寸;瓠生六日,上延蔓六尺;課于九尺之垣,是為有餘一尺二寸。以盈、不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。齊其假令,同其盈朒。通計齊即不盈不朒之正數,故可並以為實,並盈、不足為法。實如法而一,即設差不盈不朒之正數,即得日數。以瓜、瓠一日之長乘之,故各得其長之數也。〕

  今有蒲生一日,長三尺;莞生一日,長一尺。蒲生日自半,莞生日自倍。問幾何日而長等?答曰:二日十三分日之六。各長四尺八寸一十三分寸之六。

  術曰:假令二日,不足一尺五寸;令之三日,有餘一尺七寸半。

  〔按:「假令二日,不足一尺五寸」者,蒲生二日,長四尺五寸;莞生二日,長三尺;是為未相及一尺五寸,故曰不足。「令之三日,有餘一尺七寸半」者,蒲增前七寸半,莞增前四尺,是為過一尺七寸半,故曰有餘。以盈不足乘除之。

  又以後一日所長各乘日分子,如日分母而一者,各得日分子之長也。故各增二日定長,即得其數。〕

  今有醇酒一斗,直錢五十;行酒一斗,直錢一十。今將錢三十,得酒二斗。

  問醇、行酒各得幾何?答曰:醇酒二升半。行灑一斗七升半。

  術曰:假令醇酒五升,行酒一斗五升,有餘一十;令之醇酒二升,行酒一斗八升,不足二。

  〔據醇酒五升,直錢二十五;行酒一斗五升,直錢一十五;課于三十,是為有餘十。據醇酒二升,直錢一十;行酒一斗八升,直錢一十八;課于三十,是為不足二。以盈不足術求之。此問已有重設及其齊同之意也。〕

  今有大器五,小器一,容三斛;大器一,小器五,容二斛。問大、小器各容幾何?答曰:大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。

  術曰:假令大器五斗,小器亦五斗,盈一十斗;令之大器五斗五升,小器二斗五升,不足二斗。

  〔按:大器容五斗,大器五容二斛五斗。以減三斛,余五斗,即小器一所容。

  故曰「小器亦五斗」。小器五容二斛五斗,大器一,合為三斛。課于兩斛,乃多十斗。令之大器五斗五升,大器五合容二斛七斗五升。以減三斛,余二斗五升,即小器一所容。故曰小器二斗五升」。大器一容五斗五升,小器五合容一斛二斗五升,合為一斛八斗。課于二斛,少二斗。故曰「不足二斗」。以盈不足維乘,除之。〕

  今有漆三得油四,油四和漆五。今有漆三斗,欲令分以易油,還自和余漆。

  問出漆、得油、和漆各幾何?答曰:出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。

  和漆一斗八升四分升之三。

  術曰:假令出漆九升,不足六升;令之出漆一斗二升,有餘二升。

  〔按:此術三斗之漆,出九升,得油一斗二升,可和漆一斗五升,余有二斗一升,則六升無油可和,故曰「不足六升」。令之出漆一斗二升,則易得油一斗六升,可和漆二斗。于三斗之中已出一斗二升,余有一斗八升。見在油合和得漆二斗,則是有餘二升。以盈、不足維乘之,為實。並盈、不足為法。實如法而一,得出漆升數。求油及和漆者,四、五各為所求率,三、四各為所有率,而今有之,即得也。〕

  今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩。今有石立方三寸,中有玉,並重十一斤。問玉、石重各幾何?答曰:玉一十四寸,重六斤二兩。石一十三寸,重四斤一十四兩。

  術曰:假令皆玉,多十三兩;令之皆石,不足一十四兩。不足為玉,多為石。

  各以一寸之重乘之,得玉、石之積重。

  〔立方三寸是一面之方,計積二十七寸。玉方一寸重七兩,石方一寸重六兩,是為玉、石重差一兩。假令皆玉,合有一百八十九兩。課于一十一斤,有餘一十三兩。玉重而石輕,故有此多。即二十七寸之中有十三寸,寸損一兩,則以為石重,故言多為石。言多之數出於石以為玉。假令皆石,合有一百六十二兩。課于十一斤,少十四兩,故曰不足。此不足即以重為輕。故令減少數于並重,即二十七寸之中有十四寸,寸增一兩也。〕

  今有善田一畝,價三百;惡田七畝,價五百。今並買一頃,價錢一萬。問善、惡田各幾何?答曰:善田一十二畝半。惡田八十七畝半。

  術曰:假令善田二十畝,惡田八十畝,多一千七百一十四錢七分錢之二;令之善田一十畝,惡田九十畝,不足五百七十一錢七分錢之三。

  〔按:善田二十畝,直錢六千;惡田八十畝,直錢五千七百一十四、七分錢之二,課于一萬,是多一千七百一十四、七分錢之二。令之善田十畝,直錢三千;惡田九十畝,直錢六千四百二十八、七分錢之四;課于一萬,是為不足五百七十一、七分錢之三。以盈不足術求之也。〕

  今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重,適等。交易其一,金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何?答曰:金重二斤三兩一十八銖。銀重一斤一十三兩六銖。

  術曰:假令黃金三斤,白銀二斤一十一分斤之五,不足四十九,于右行。令之黃金二斤,白銀一斤一十一分斤之七,多一十五,於左行。以分母各乘其行內之數。以盈、不足維乘所出率,並,以為實。並盈、不足為法。實如法,得黃金重。分母乘法以除,得銀重。約之得分也。

  〔按:此術假令黃金九,白銀一十一,俱重二十七斤。金,九約之,得三斤;銀,一十一約之,得二斤一十一分斤之五;各為金、銀一枚重數。就金重二十七斤之中減一金之重,以益銀,銀重二十七斤之中減一銀之重,以益金,則金重二十六斤一十一分斤之五,銀重二十七斤一十一分斤之六。以少減多,則金輕一十七兩一十一分兩之五。課于一十三兩,多四兩一十一分兩之五。通分內子言之,是為不足四十九。又令之黃金九,一枚重二斤,九枚重一十八斤;白銀一十一,亦合重一十八斤也。乃以一十一除之,得一斤一十一分斤之七,為銀一枚之重數。

  今就金重一十八斤之中減一枚金,以益銀;復減一枚銀,以益金,則金重一十七斤一十一分斤之七,銀重一十八斤一十一分斤之四。以少減多,即金輕一十一分斤之八。課于一十三兩,少一兩一十一分兩之四。通分內子言之,是為多一十五。

  以盈不足為之,如法,得金重。分母乘法以除者,為銀兩分母,故同之。須通法而後乃除,得銀重。余皆約之者,術省故也。〕

  今有良馬與駑馬髮長安,至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復還迎駑馬。問幾何日相逢及各行幾何?答曰:一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。

  良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。駑馬行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。

  術曰:假令十五日,不足三百三十七里半;令之十六日,多一百四十里。以盈、不足維乘假令之數,並而為實。並盈、不足為法。實如法而一,得日數。不盡者,以等數除之而命分。求良馬行者:十四乘益疾里數而半之,加良馬初日之行里數,以乘十五日,得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里數,加良馬初日之行。以乘日分子,如日分母而一。所得,加前良馬凡行里數,即得。其不盡而命分。求駑馬行者:以十四乘半里,又半之,以減駑馬初日之行里數,以乘十五日,得駑馬十五日之凡行。又以十五日乘半里,以減駑馬初日之行,余,以乘日分子,如日分母而一。所得,加前里,即駑馬定行里數。其奇半里者,為半法。以半法增殘分,即得。其不盡者而命分。

  〔按:「令十五日,不足三百三十七里半」者,據良馬十五日凡行四千二百六十里,除先去齊三千里,定還迎駑馬一千二百六十里;駑馬十五日凡行一千四百二里半,並良、駑二馬所行,得二千六百六十二里半。課于三千里,少三百三十七里半。故曰不足。「令之十六日,多一百四十里」者,據良馬十六日凡行四千六百四十八里;除先去齊三千里,定還迎駑馬一千六百四十八里,駑馬十六日凡行一千四百九十二里。並良、駑二馬所行,得三千一百四十里。課于三千里,余有一百四十里。故謂之多也。以盈不足之,實如法而一,得日數者,即設差不盈不朒之正數。以二馬初日所行里乘十五日,為一十五日平行數。求初末益疾減遲之數者,並一與十四,以十四乘而半之,為中平之積。又令益疾減遲里數乘之,各為減益之中平里。故各減益平行數,得一十五日定行里。若求后一日,以十六日之定行里數乘日分子,如日分母而一,各得日分子之定行里數。故各並十五日定行里,即得。其駑馬奇半里者,法為全里之分,故破半里為半法,以增殘分,即合所問也。〕

  今有人持錢之蜀賈,利十,三。初返歸一萬四千,次返歸一萬三千,次返歸一萬二千,次返歸一萬一千,后返歸一萬。凡五返歸錢,本利俱盡。問本持錢及利各幾何?答曰:本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六。利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七。

  術曰:假令本錢三萬,不足一千七百三十八錢半;令之四萬,多三萬五千三百九十錢八分。

  〔按:假令本錢三萬,並利為三萬九千;除初返歸留,余,加利為三萬二千五百;除二返歸留,余,又加利為二萬五千三百五十;除第三返歸留,余,又加利為一萬七千三百五十五;除第四返歸留,余,又加利為八千二百六十一錢半;除第五返歸留,合一萬錢,不足一千七百三十八錢半。若使本錢四萬,並利為五萬二千;除初返歸留,余,加利為四萬九千四百;除第二返歸留,余,又加利為四萬七千三百二十;除第三返歸留,余,又加利為四萬五千九百一十六;除第四返歸留,余,又加利為四萬五千三百九十錢八分;除第五返歸留,合一萬,余三萬五千三百九十錢八分,故曰多。

  又術:置后返歸一萬,以十乘之,十三而一,即后所持之本。加一萬一千,又以十乘之,十三而一,即第四返之本。加一萬二千,又以十乘之,十三而一,即第三返之本。加一萬三千,又以十乘之,十三而一,即第二返之本。加一萬四千,又以十乘之,十三而一,即初持之本。並五返之錢以減之,即利也。〕

  今有垣厚五尺,兩鼠對穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。問幾何日相逢?各穿幾何?答曰:二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二,小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。

  術曰:假令二日,不足五寸;令之三日,有餘三尺七寸半。

  〔大鼠日倍,二日合穿三尺;小鼠日自半,合穿一尺五寸;並大鼠所穿,合四尺五寸。課于垣厚五尺,是為不足五寸。令之三日,大鼠穿得七尺,小鼠穿得一尺七寸半。並之,以減垣厚五尺,有餘三尺七寸半。以盈不足術求之,即得。

  以後一日所穿乘日分子,如日分母而一,即各得日分子之中所穿。故各增二日定穿,即合所問也。〕

  卷八

  ○方程(以御錯糅正負)

  今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,實三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。

  方程〔程,課程也。群物總雜,各列有數,總言其實。令每行為率。二物者再程,三物者三程,皆如物數程之。並列為行,故謂之方程。行之左右無所同存,且為有所據而言耳。此都術也,以空言難曉,故特系之禾以決之。又列中、左行如右行也。〕

  術曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行,而以直除。

  〔為術之意,令少行減多行,反覆相減,則頭位必先盡。上無一位,則此行亦闕一物矣。然而舉率以相減,不害餘數之課也。若消去頭位,則下去一物之實。

  如是疊令左右行相減,審其正負,則可得而知。先令右行上禾乘中行,為齊同之意。為齊同者,謂中行直減右行也。從簡易雖不言齊同,以齊同之意觀之,其義然矣。〕

  又乘其次,亦以直除。

  〔復去左行首。〕

  然以中行中禾不盡者遍乘左行,而以直除。

  〔亦令兩行相去行之中禾也。〕

  左方下禾不盡者,上為法,下為實。實即下禾之實。

  〔上、中禾皆去,故餘數是下禾實,非但一秉。欲約眾秉之實,當以禾秉數為法。列此,以下禾之秉數乘兩行,以直除,則下禾之位皆決矣。各以其餘一位之秉除其下實。即計數矣用算繁而不省。所以別為法,約也。然猶不如自用其舊。

  廣異法也。〕

  求中禾,以法乘中行下實,而除下禾之實。

  〔此謂中兩禾實,下禾一秉實數先見,將中秉求中禾,其列實以減下實。而左方下禾雖去一,以法為母,于率不通。故先以法乘,其通而同之。俱令法為母,而除下禾實。以下禾先見之實令乘下禾秉數,即得下禾一位之列實。減于下實,則其數是中禾之實也。〕

  余,如中禾秉數而一,即中禾之實。

  〔余,中禾一位之實也。故以一位秉數約之,乃得一秉之實也。〕

  求上禾,亦以法乘右行下實,而除下禾、中禾之實。

  〔此右行三禾共實,合三位之實。故以二位秉數約之,乃得一秉之實。今中下禾之實其數並見,令乘右行之禾秉以減之。故亦如前各求列實,以減下實也。〕

  余,如上禾秉數而一,即上禾之實。實皆如法,各得一斗。

  〔三實同用,不滿法者,以法命之。母、實皆當約之。〕

  今有上禾七秉,損實一斗,益之下禾二秉,而實一十斗;下禾八秉,益實一斗,與上禾二秉,而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉實一斗五十二分斗之一十八。下禾一秉實五十二分斗之四十一。

  術曰:如方程。損之曰益,益之曰損。

  〔問者之辭雖?今按:實雲上禾七秉,下禾二秉,實一十一斗;上禾二秉,下禾八秉,實九斗也。「損之曰益」,言損一斗,余當一十斗;今欲全其實,當加所損也。「益之曰損」,言益實以一斗,乃滿一十斗;今欲知本實,當減所加,即得也。〕

  損實一斗者,其實過一十斗也;益實一斗者,其實不滿一十斗也。

  〔重諭損益數者,各以損益之數損益之也。〕

  今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,實皆不滿斗。上取中、中取下、下取上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?答曰上禾一秉實二十五分斗之九。中禾一秉實二十五分斗之七。下禾一秉實二十五分斗之四。

  術曰:如方程。各置所取。

  〔置上禾二秉為右行之上,中禾三秉為中行之中,下禾四秉為左行之下,所取一秉及實一斗各從其位。諸行相借取之物皆依此例。〕

  以正負術入之。

  正負術曰:〔今兩算得失相反,要令正負以名之。正算赤,負算黑,否則以邪正為異。

  方程自有赤、黑相取,法、實數相推求之術。而其並減之勢不得廣通,故使赤、黑相消奪之,于算或減或益。同行異位殊為二品,各有並、減之差見於下焉。著此二條,特系之禾以成此二條之意。故赤、黑相雜足以定上下之程,減、益雖殊足以通左右之數,差、實雖分足以應同異之率。然則其正無入以負之,負無入以正之,其率不妄也。〕

  同名相除,〔此謂以赤除赤,以黑除黑,行求相減者,為去頭位也。然則頭位同名者,當用此條,頭位異名者,當用下條。〕

  異名相益,〔益行減行,當各以其類矣。其異名者,非其類也。非其類者,猶無對也,非所得減也。故赤用黑對則除,黑;無對則除,黑;黑用赤對則除,赤;無對則除,赤;赤黑並於本數。此為相益之,皆所以為消奪。消奪之與減益成一實也。

  術本取要,必除行首。至於他位,不嫌多少,故或令相減,或令相併,理無同異而一也。〕

  正無入負之,負無入正之。

  〔無入,為無對也。無所得減,則使消奪者居位也。其當以列實或減下實,而行中正負雜者亦用此條。此條者,同名減實,異名益實,正無入負之,負無入正之也。〕

  其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。

  〔此條異名相除為例,故亦與上條互取。凡正負所以記其同異,使二品互相取而已矣。言負者未必負于少,言正者未必正於多。故每一行之中雖復赤黑異算無傷。然則可得使頭位常相與異名。此條之實兼通矣,遂以二條反覆一率。觀其每與上下互相取位,則隨算而言耳,猶一術也。又,本設諸行,欲因成數以相去耳。故其多少無限,令上下相命而已。若以正負相減,如數有舊增法者,每行可均之,不但數物左右之也。〕

  今有上禾五秉,損實一斗一升,當下禾七秉;上禾七秉,損實二斗五升,當下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉五升。下禾一秉二升。

  術曰:如方程。置上禾五秉正,下禾七秉負,損實一斗一升正。

  〔言上禾五秉之實多,減其一斗一升,余,是與下禾七秉相當數也。故互其算,令相折除,以一斗一升為差。為差者,上禾之餘實也。〕

  次置上禾七秉正,下禾五秉負,損實二斗五升正。以正負術入之。

  〔按:正負之術,本設列行,物程之數不限多少,必令與實上下相次,而以每行各自為率。然而或減或益,同行異位,殊為二品,各自並、減,之差見於下也。〕

  今有上禾六秉,損實一斗八升,當下禾一十秉;下禾一十五秉,損實五升,當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉實八升。下禾一秉實三升。

  術曰:如方程。置上禾六秉正,下禾一十秉負,損實一斗八升正。次,上禾五秉負,下禾一十五秉正,損實五升正。以正負術入之。

  〔言上禾六秉之實多,減損其一斗八升,余是與下禾十秉相當之數。故亦互其算,而以一斗八升為差實。差實者,上禾之餘實。〕

  今有上禾三秉,益實六斗,當下禾一十秉;下禾五秉,益實一斗,當上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉實八斗。下禾一秉實三斗。

  術曰:如方程。置上禾三秉正,下禾一十秉負,益實六斗負。次置上禾二秉負,下禾五秉正,益實一斗負。以正負術入之。

  〔言上禾三秉之實少,益其六斗,然後于下禾十秉相當也。故亦互其算,而以六斗為差實。差實者,下禾之餘實。〕

  今有牛五,羊二,直金十兩;牛二,羊五,直金八兩。問牛、羊各直金幾何?答曰:牛一直金一兩二十一分兩之一十三。羊一直金二十一分兩之二十。

  術曰:如方程。

  〔假令為同齊,頭位為牛,當相乘。右行定,更置牛十,羊四,直金二十兩;左行:牛十,羊二十五,直金四十兩。牛數等同,金多二十兩者,羊差二十一使之然也。以少行減多行,則牛數盡,惟羊與直金之數見,可得而知也。以小推大,雖四五行不異也。〕

  今有賣牛二,羊五,以買一十三豕,有餘錢一千;賣牛三,豕三,以買九羊,錢適足;賣六羊,八豕,以買五牛,錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何?答曰牛價一千二百。羊價五百。豕價三百。

  術曰:如方程。置牛二,羊五正,豕一十三負,餘錢數正;次,牛三正,羊九負,豕三正;次五牛負,六羊正,八豕正,不足錢負。以正負術入之。

  〔此中行買、賣相折,錢適足,故但互買賣算而已。故下無錢直也。設欲以此行如方程法,先令二牛遍乘中行,而以右行直除之。是故終於下實虛缺矣。故注曰正無實負,負無實正,方為類也。方將以別實加適足之數與實物作實。

  盈不足章「黃金白銀」與此相當。「假令黃金九,白銀一十一,稱之重適等。

  交易其一,金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何?」與此同。〕

  今有五雀六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕。一雀一燕交而處,衡適平。並雀、燕重一斤。問雀、燕一枚各重幾何?答曰:雀重一兩一十九分兩之一十三。

  燕重一兩一十九分兩之五。

  術曰:如方程。交易質之,各重八兩。

  〔此四雀一燕與一雀五燕衡適平,並重一斤,故各八兩。列兩行程數。左行頭位其數有一者,令右行遍除。亦可令於左行而取其法、實於左。左行數多,以右行取其數。左頭位減盡,中、下位算當燕與實。右行不動。左上空,中法,下實,即每枚當重宜可知也。按:此四雀一燕與一雀五燕其重等,是三雀、四燕重相當。雀率重四,燕率重三也。諸再程之率皆可異術求也,即其數也。〕

  今有甲、乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而亦錢五十。

  問甲、乙持錢各幾何?答曰:甲持三十七錢半。乙持二十五錢。

  術曰:如方程。損益之。

  〔此問者言一甲,半乙而五十;太半甲,一乙亦五十也。各以分母乘其全,內子。行定:二甲,一乙而錢一百;二甲,三乙而錢一百五十。於是乃如方程。

  諸物有分者放此。〕

  今有二馬,一牛,價過一萬,如半馬之價;一馬,二牛,價不滿一萬,如半牛之價。問牛、馬價各幾何?答曰:馬價五千四百五十四錢一十一分錢之六。牛價一千八百一十八錢一十一分錢之二。

  術曰:如方程。損益之。

  〔此一馬半與一牛價直一萬也,二牛半與一馬亦直一萬也。一馬半與一牛直錢一萬,通分內子,右行為三馬,二牛,直錢二萬。二牛半與一馬直錢一萬,通分內子,左行為二馬,五牛,直錢二萬也。〕

  今有武馬一匹,中馬二匹,下馬三匹,皆載四十石至坂,皆不能上。武馬借中馬一匹,中馬借下馬一匹,下馬借武馬一匹,乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何?答曰:武馬一匹力引二十二石七分石之六。中馬一匹力引一十七石七分石之一。下馬一匹力引五石七分石之五。

  術曰:如方程。各置所借,以正負術入之。

  今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆。乙三綆不足,以丙一綆;丙四綆不足,以丁一綆;丁五綆不足,以戊一綆;戊六綆不足,以甲一綆。如各得所不足一綆,皆逮。問井深、綆長各幾何?答曰:井深七丈二尺一寸。甲綆長二丈六尺五寸。乙綆長一丈九尺一寸。丙綆長一丈四尺八寸。丁綆長一丈二尺九寸。戊綆長七尺六寸。

  術曰:如方程。以正負術入之。

  〔此率初如方程為之,名各一逮井。其後,法得七百二十一,實七十六,是為七百二十一綆而七十六逮井,並用逮之數。以法除實者,而戊一綆逮井之數定,逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一為井深,七十六為戊綆之長,舉率以言之。〕

  今有白禾二步,青禾三步,黃禾四步,黑禾五步,實各不滿斗。白取青、黃,青取黃、黑,黃取黑、白,黑取白、青,各一步,而實滿斗。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何?答曰:白禾一步實一百一十一分斗之三十三。青禾一步實一百一十一分斗之二十八。黃禾一步實一百一十一分斗之一十七。黑禾一步實一百一十一分斗之一十。

  術曰:如方程。各置所取,以正負術入之。

  今有甲禾二秉,乙禾三秉,丙禾四秉,重皆過於石。甲二重如乙一,乙三重如丙一,丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何?答曰:甲禾一秉重二十三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一十。

  術曰:如方程。置重過於石之物為負。

  〔此問者言甲禾二秉之重過於一石也。其過者何雲?如乙一秉重矣。互其算,令相折除,而一以石為之差實。差實者,如甲禾余實。故置算相與同也。〕

  以正負術入之。

  〔此入,頭位異名相除者,正無入正之,負無入負之也。〕

  今有令一人,吏五人,從者一十人,食雞一十;令一十人,吏一人,從者五人,食雞八;令五人,吏一十人,從者一人,食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何?答曰令一人食一百二十二分雞之四十五。吏一人食一百二十二分雞之四十一。

  從者一人食一百二十二分雞之九十七。

  術曰:如方程。以正負術入之。

  今有五羊,四犬,三雞,二兔,直錢一千四百九十六;四羊,二犬,六雞,三兔,直錢一千一百七十五;三羊,一犬,七雞,五兔,直錢九百五十八;二羊,三犬,五雞,一兔,直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何?答曰:羊價一百七十七。犬價一百二十一。雞價二十三。兔價二十九。

  術曰:如方程。以正負術入之。

  今有麻九斗,麥七斗,菽三斗,荅二斗,黍五斗,直錢一百四十;麻七斗,麥六斗,菽四斗,荅五斗,黍三斗,直錢一百二十八;麻三斗,麥五斗,菽七斗,荅六斗,黍四斗,直錢一百一十六;麻二斗,麥五斗,菽三斗,荅九斗,黍四斗,直錢一百一十二;麻一斗,麥三斗,菽二斗,荅八斗,黍五斗,直錢九十五。問一斗直幾何?荅曰:麻一斗七錢。麥一斗四錢。菽一斗三錢。荅一斗五錢。黍一斗六錢。

  術曰:如方程。以正負術入之。

  〔此麻麥與均輸、少廣之章重衰、積分皆為大事。其拙於精理徒按本術者,或用算而布氈,方好煩而喜誤,曾不知其非,反欲以多為貴。故其算也,莫不暗于設通而專于一端。至於此類,苟務其成,然或失之,不可謂要約。更有異術者庖丁解牛,游刃理間,故能歷久其刃如新。夫數,猶刃也,易簡用之則動中庖丁之理。故能和神愛刃,速而寡尤。凡九章為大事,按法皆不盡一百算也。雖布算不多,然足以算多。世人多以方程為難,或盡布算之象在綴正負而已,未暇以論其設動無方,斯膠柱調瑟之類。聊復恢演,為作新術,著之於此,將亦啟導疑意。網羅道精,豈傳之空言?記其施用之例,著策之數,每舉一隅焉。

  方程新術曰:以正負術入之。令左、右相減,先去下實,又轉去物位,則其求一行二物正負相借者,是其相當之率。又令二物與他行互相去取,轉其二物相借之數,即皆相當之率也。各據二物相當之率,對易其數,即各當之率也。更置成行及其下實,各以其物本率今有之,求其所同。並,以為法。其當相併而行中正負雜者,同名相從,異名相消,余,以為法。以下置為實。實如法,即合所問也。一物各以本率今有之,即皆合所問也。率不通者,齊之。


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