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  以深、袤相乘,〔為深、袤之立實也。〕

  又三之,為法。

  〔以深、袤乘之立實除垣積,即坑廣。又三之者,與堅率併除之。〕

  所得,倍之。

  〔為坑有兩廣,先並而半之,即為廣狹之中平。今先得其中平,故又倍之知,兩廣全也。〕

  減上廣,余即下廣。

  〔按:此術穿地四,為堅三。垣即堅也。今以堅求穿地,當四乘之,三而一。

  深、袤相乘者,為深袤立冪。以深袤立冪除積,即坑廣。又三之,為法,與堅率併除。所得,倍之者,為坑有兩廣,先並而半之,為中平之廣。今此得中平之廣,故倍之還為兩廣並。故減上廣,余即下廣也。〕

  今有城下廣四丈,上廣二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺。問積幾何?答曰:一百八十九萬七千五百尺:今有垣下廣三尺,上廣二尺,高一丈二尺,袤二十二丈五尺八寸。問積幾何?答曰:六千七百七十四尺。

  今有堤下廣二丈,上廣八尺,高四尺,袤一十二丈七尺。問積幾何?答曰:七千一百一十二尺。

  冬程人功四百四十四尺,問用徒幾何?答曰:一十六人二百一十一分人之二。

  術曰:以積尺為實,程功尺數為法,實如法而一,即用徒人數。

  今有溝,上廣一丈五尺,下廣一丈,深五尺,袤七丈。問積幾何?答曰:四千三百七十五尺。

  春程人功七百六十六尺,並出土功五分之一,定功六百一十二尺五分尺之四。

  問用徒幾何?答曰:七人三千六十四分人之四百二十七。

  術曰:置本人功,去其五分之一,余為法。

  〔「去其五分之一」者,謂以四乘,五除也。〕

  以溝積尺為實,實如法而一,得用徒人數。

  〔按:此術「置本人功,去其五分之一」者,謂以四乘之,五而一,除去出土之功,取其定功。乃通分內子以為法。以分母乘溝積尺為實者,法里有分,實里通之,故實如法而一,即用徒人數。此以一人之積尺除其眾尺,故用徒人數。

  不盡者,等數約之而命分也。〕

  今有塹,上廣一丈六尺三寸,下廣一丈,深六尺三寸,袤一十三丈二尺一寸。

  問積幾何?答曰:一萬九百四十三尺八寸。

  〔八寸者,謂穿地方尺,深八寸。此積余有方尺中二分四厘五毫,棄之。文欲從易,非其常定也。〕

  夏程人功八百七十一尺,並出土功五分之一,沙礫水石之功作太半,定功二百三十二尺一十五分尺之四。問用徒幾何?答曰:四十七人三千四百八十四分人之四百九。

  術曰:置本人功,去其出土功五分之一,又去沙礫水石之功太半,余為法。

  以塹積尺為實。實如法而一,即用徒人數。

  〔按:此術「置本人功,去其出土功五分之一」者,謂以四乘,五除。「又去沙礫水石作太半」者,一乘,三除,存其少半,取其定功。乃通分內子以為法。

  以分母乘塹積尺為實者,為法里有分,實里通之,故實如法而一,即用徒人數。

  不盡者,等數約之而命分也。〕

  今有穿渠,上廣一丈八尺,下廣三尺六寸,深一丈八尺,袤五萬一千八百二十四尺。問積幾何?答曰:一千七萬四千五百八十五尺六寸。

  秋程人功三百尺,問用徒幾何?答曰:三萬三千五百八十二人,功內少一十四尺四寸。

  一千人先到,問當受袤幾何?答曰:一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。

  術曰:以一人功尺數乘先到人數為實。

  〔以一千人一日功為實。立實為功。〕

  並渠上下廣而半之,以深乘之,為法。

  〔以渠廣深之立實為法。〕

  實如法得袤尺。

  今有方堡壔,〔堡者,堡城也;壔,音丁老反,又音纛,謂以土擁木也。〕

  方一丈六尺,高一丈五尺。問積幾何?答曰:三千八百四十尺。

  術曰:方自乘,以高乘之,即積尺。

  今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺。問積幾何?答曰:二千一百一十二尺。

  〔于徽術,當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。

  淳風等按:依密率,積二千一十六尺。〕

  術曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。

  〔此章諸術亦以周三徑一為率,皆非也。于徽術當以周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,三百一十四而一。此之圓冪亦如圓田之冪也。求冪亦如圓田,而以高乘冪也。

  淳風等按:依密率,以七乘之,八十八而一。〕

  今有方亭,下方五丈,上方四丈,高五丈。問積幾何?答曰:一十萬一千六百六十六尺太半尺。

  術曰:上下方相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三而一。

  〔此章有塹堵、陽馬,皆合而成立方。蓋說算者乃立棋三品,以效高深之積。

  假令方亭,上方一尺,下方三尺,高一尺。其用棋也,中央立方一,四面塹堵四,四角陽馬四。上下方相乘為三尺,以高乘之,得積三尺,是為得中央立方一,四面塹堵各一。下方自乘為九,以高乘之,得積九尺。是為中央立方一、四面塹堵各二、四角陽馬各三也。上方自乘,以高乘之,得積一尺,又為中央立方一。凡三品棋皆一而為三,故三而一,得積尺。用棋之數:立方三、塹堵陽馬各十二,凡二十七,棋十三。更差次之,而成方亭者三,驗矣。為術又可令方差自乘,以高乘之,三而一,即四陽馬也;上下方相乘,以高乘之,即中央立方及四面塹堵也。並之,以為方亭積數也。〕

  今有圓亭,下周三丈,上周二丈,高一丈。問積幾何?答曰:五百二十七尺九分尺之七。

  〔于徽術,當積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。

  淳風等按:依密率,為積五百三尺三十三分尺之二十六。〕

  術曰:上下周相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三十六而一。

  〔此術周三徑一之義。合以三除上下周,各為上下徑。以相乘,又各自乘,並,以高乘之,三而一,為方亭之積。假令三約上下周俱不盡,還通之,即各為上下徑。令上下徑相乘,又各自乘,並,以高乘之,為三方亭之積分。此合分母三相乘得九,為法,除之。又三而一,得方亭之積。從方亭求圓亭之積,亦猶方冪中求圓冪。乃令圓率三乘之,方率四而一,得圓亭之積。前求方亭之積,乃以三而一;今求圓亭之積,亦合三乘之。二母既同,故相准折,惟以方冪四乘分母九,得三十六,而連除之。于徽術,當上下周相乘,又各自乘,並,以高乘之,又二十五乘之,九百四十二而一。此方亭四角圓殺,比于方亭,二百分之一百五十七。為術之意,先作方亭,三而一。則此據上下徑為之者,當又以一百五十七乘之,六百而一也。今據周為之,若於圓堡昪,又以二十五乘之,三百一十四而一,則先得三圓亭矣。故以三百一十四為九百四十二而一,併除之。

  淳風等按:依密率,以七乘之,二百六十四而一。〕

  今有方錐,下方二丈七尺,高二丈九尺。問積幾何?答曰:七千四十七尺。

  術曰:下方自乘,以高乘之,三而一。

  〔按:此術假令方錐下方二尺,高一尺,即四陽馬。如術為之,用十二陽馬成三方錐。故三而一,得方錐也。〕

  今有圓錐,下周三丈五尺,高五丈一尺。問積幾何?答曰:一千七百三十五尺一十二分尺之五。

  〔于徽術,當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。

  淳風等按:依密率,為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕

  術曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。

  〔按:此術圓錐下周以為方錐下方。方錐下方令自乘,以高乘之,令三而一,得大方錐之積。大錐方之積合十二圓矣。今求一圓,複合十二除之,故令三乘十二,得三十六,而連除。于徽術,當下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百四十二而一。圓錐比于方錐亦二百分之一百五十七。令徑自乘者,亦當以一百五十七乘之,六百而一。其說如圓亭也。

  淳風等按:依密率,以七乘之,二百六十四而一。〕

  今有塹堵,下廣二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺。問積幾何?答曰:四萬六千五百尺。

  術曰:廣袤相乘,以高乘之,二而一。

  〔邪解立方,得兩塹堵。雖復橢方,亦為塹堵。故二而一。此則合所規棋。

  推其物體,蓋為塹上疊也。其形如城,而無上廣,與所規棋形異而同實。未聞所以名之為塹堵之說也。〕

  今有陽馬,廣五尺,袤七尺,高八尺。問積幾何?答曰:九十三尺少半尺。

  術曰:廣袤相乘,以高乘之,三而一。

  〔按:此術陽馬之形,方錐一隅也。今謂四柱屋隅為陽馬。假令廣袤各一尺,高一尺,相乘,得立方積一尺。邪解立方,得兩塹堵;邪解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑。陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也。合兩鱉臑成一陽馬,合三陽馬而成一立方,故三而一。驗之以棋,其形露矣。悉割陽馬,凡為六鱉臑。觀其割分,則體勢互通,蓋易了也。其棋或修短、或廣狹、立方不等者,亦割分以為六鱉臑。

  其形不悉相似。然見數同,積實均也。鱉臑殊形,陽馬異體。然陽馬異體,則不純合。不純合,則難為之矣。何則?按:邪解方棋以為塹堵者,必當以半為分;邪解塹堵以為陽馬者,亦必當以半為分,一從一橫耳。設以陽馬為分內,鱉臑為分外。棋雖或隨修短廣狹,猶有此分常率知,殊形異體,亦同也者,以此而已。

  其使鱉臑廣、袤、高各二尺,用塹堵、鱉臑之棋各二,皆用赤棋。又使陽馬之廣、袤、高各二尺,用立方之棋一,塹堵、陽馬之棋各二,皆用黑棋。棋之赤、黑,接為塹堵,廣、袤、高各二尺。於是中攽其廣、袤,又中分其高。令赤、黑塹堵各自適當一方,高一尺,方一尺,每二分鱉臑,則一陽馬也。其餘兩端各積本體,合成一方焉。是為別種而方者率居三,通其體而方者率居一。雖方隨棋改,而固有常然之勢也。按:餘數具而可知者有一、二分之別,則一、二之為率定矣。其于理也豈虛矣。若為數而窮之,置余廣、袤、高之數,各半之,則四分之三又可知也。半之彌少,其餘彌細,至細曰微,微則無形。由是言之,安取余哉?數而求窮之者,謂以情推,不用籌算。鱉臑之物,不同器用;陽馬之形,或隨修短廣狹。然不有鱉臑,無以審陽馬之數,不有陽馬,無以知錐亭之數,功實之主也。〕

  今有鱉臑,下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺。問積幾何?答曰:二十三尺少半尺。

  術曰:廣袤相乘,以高乘之,六而一。

  〔按:此術臑者,臂節也。或曰:半陽馬,其形有似鱉肘,故以名雲。中破陽馬,得兩鱉臑。鱉臑之見數即陽馬之半數。數同而實據半,故雲六而一,即得。〕

  今有羡除,下廣六尺,上廣一丈,深三尺;末廣八尺,無深;袤七尺。問積幾何?答曰:八十四尺。

  術曰:並三廣,以深乘之,又以袤乘之,六而一。

  〔按:此術羡除,實隧道也。其所穿地,上平下邪,似兩鱉臑夾一塹堵,即羡除之形。假令用此棋:上廣三尺,深一尺,下廣一尺;末廣一尺,無深;袤一尺。下廣、末廣皆塹堵之廣。上廣者,兩鱉臑與一塹堵相連之廣也。以深、袤乘,得積五尺。鱉臑居二,塹堵居三,其于本棋皆一為六,故六而一。合四陽馬以為方錐。邪畫方錐之底,亦令為中方。就中方削而上合,全為中方錐之半。於是陽馬之棋悉中解矣。中錐離而為四鱉臑焉。故外錐之半亦為四鱉臑。雖背正異形,與常所謂鱉臑參不相似,實則同也。所雲夾塹堵者,中錐之鱉臑也。凡塹堵上袤短者,連陽馬也。下袤短者,與鱉臑連也。上、下兩袤相等知,亦與鱉臑連也。

  並三廣,以高、袤乘,六而一,皆其積也。今此羡除之廣即塹堵之袤也。按:此本是三廣不等,即與鱉臑連者。別而言之:中央塹堵廣六尺,高三尺,袤七尺。

  末廣之兩旁,各一小鱉臑,皆與塹堵等。令小鱉臑居里,大鱉臑居表,則大鱉臑皆出橢方錐:下廣二尺,袤六尺,高七尺。分取其半,則為袤三尺。以高、廣乘之,三而一,即半錐之積也。邪解半錐得此兩大鱉臑。求其積,亦當六而一,合於常率矣。按:陽馬之棋兩邪,棋底方。當其方也,不問旁角而割之,相半可知也。推此上連無成不方,故方錐與陽馬同實。角而割之者,相半之勢。此大小鱉臑可知更相表裡,但體有背正也。〕

  今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無廣;高一丈。問積幾何?答曰:五千尺。

  術曰:倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一。

  〔推明義理者:舊說雲:「凡積芻有上下廣曰童,甍,謂其屋蓋之苫也。」是故甍之下廣、袤與童之上廣、袤等。正解方亭兩邊,合之即芻甍之形也。假令下廣二尺,袤三尺;上袤一尺,無廣;高一尺。其用棋也,中央塹堵二,兩端陽馬各二。倍下袤,上袤從之,為七尺。以下廣乘之,得冪十四尺。陽馬之冪各居二,塹堵之冪各居三。以高乘之,得積十四尺。其于本棋也,皆一而為六。故六而一,即得。亦可令上下袤差乘廣,以高乘之,三而一,即四陽馬也;下廣乘上袤而半之,高乘之,即二塹堵;並之,以為甍積也。〕

  芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術。

  術曰:倍上袤,下袤從之;亦倍下袤,上袤從之;各以其廣乘之,並,以高若深乘之,皆六而一。

  〔按:此術假令芻童上廣一尺,袤二尺;下廣三尺,袤四尺;高一尺。其用棋也,中央立方二,四面塹堵六,四角陽馬四。倍下袤為八,上袤從之,為十,以高、廣乘之,得積三十尺。是為得中央立方各三,兩端塹堵各四,兩旁塹堵各六,四角陽馬亦各六。復倍上袤,下袤從之,為八,以高、廣乘之,得積八尺。

  是為得中央立方亦各三,兩端塹堵各二。並兩旁,三品棋皆一而為六。故六而一,即得。為術又可令上下廣袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四陽馬;上下廣袤互相乘,並,而半之,以高乘之,即四面六塹堵與二立方;並之,為芻童積。又可令上下廣袤互相乘而半之,上下廣袤又各自乘,並,以高乘之,三而一,即得也。〕

  其曲池者,並上中、外周而半之,以為上袤;亦並下中、外周而半之,以為下袤。

  〔此池環而不通匝,形如盤蛇,而曲之。亦雲周者,謂如委谷依垣之周耳。

  引而伸之,周為袤。求袤之意,環田也。〕

  今有芻童,下廣二丈,袤三丈;上廣三丈,袤四丈;高三丈。問積幾何?答曰:二萬六千五百尺。

  今有曲池,上中周二丈,外周四丈,廣一丈;下中周一丈四尺,外周二丈四尺,廣五尺;深一丈。問積幾何?答曰:一千八百八十三尺三寸少半寸。

  今有盤池,上廣六丈,袤八丈;下廣四丈,袤六丈,深二丈。問積幾何?答曰:七萬六百六十六尺太半尺。

  負土往來七十步,其二十步上下棚除,棚除二當平道五;踟躕之間十加一;載輸之間三十步,定一返一百四十步。土籠積一尺六寸。秋程人功行五十九里半。

  問人到積尺及用徒各幾何?答曰:人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。

  術曰:以一籠積尺乘程行步數,為實。往來上下棚除二當平道五。

  〔棚,閣;除,斜道;有上下之難,故使二當五也。〕

  置定往來步數,十加一,及載輸之間三十步,以為法。除之,所得即一人所到尺。以所到約積尺,即用徒人數。

  〔按:此術棚,閣;除,斜道;有上下之難,故使二當五。置定往來步數,十加一,及載輸之間三十步,是為往來一返凡用一百四十步。於今有術為所有率,籠積一尺六寸為所求率,程行五十九里半為所有數,而今有之,即所到尺數。以所到約積尺,即用徒人數者,此一人之積除其眾積尺,故得用徒人數。為術又可令往來一返所用之步約程行為返數,乘籠積為一人所到。以此術與今有術相反覆,則乘除之或先後,意各有所在而同歸耳。〕

  今有冥谷,上廣二丈,袤七丈;下廣八尺,袤四丈;深六丈五尺。問積幾何?答曰:五萬二千尺。

  載土往來二百步,載輸之間一里。程行五十八里;六人共車,車載三十四尺七寸。問人到積尺及用徒各幾何?答曰:人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六。

  術曰:以一車積尺乘程行步數,為實。置今往來步數,載入輸之間一里,以車六人乘之,為法。除之,所得即一人所到尺。以所到約積尺,即用徒人數。

  〔按:此術今有之義。以載輸及往來並得五百步,為所有率,車載三十四尺七寸為所求率,程行五十八里,通之為步,為所有數,而今有之,所得即一車所到。欲得人到者,當以六人除之,即得。術有分,故亦更令乘法而併除者,亦用以車尺數以為一人到土率,六人乘五百步為行率也。又亦可五百步為行率,令六人約車積尺數為一人到土率,以負土術入之。入之者,亦可求返數也。要取其會通而已。術恐有分,故令乘法而併除。以所到約積尺,即用徒人數者,以一人所到積尺除其眾積,故得用徒人數也。〕

  今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈。問積及為粟幾何?答曰:積八千尺。

  〔于徽術,當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。

  淳風等按:依密率,為積七千六百三十六尺十一分尺之四。〕

  為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

  〔于徽術,當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。

  淳風等按:依密率,為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕

  今有委菽依垣,下周三丈,高七尺。問積及為菽各幾何?答曰:積三百五十尺。

  〔依徽術,當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。

  淳風等按:依密率,為積三百三十四尺十一分尺之一。〕

  為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。

  〔依徽術,當菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之七千七百七十一。

  淳風等按:依密率,為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕

  今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺。問積及為米各幾何?答曰:積三十五尺九分尺之五。

  〔于徽術,當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。

  淳風等按:依密率,當積三十三尺三十三分尺之三十一。〕

  為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。

  〔于徽術,當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十。

  淳風等按:依密率,為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕

  委粟術曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。

  〔此猶圓錐也。于徽術,亦當下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百四十二而一也。〕

  其依垣者,〔居圓錐之半也。〕

  十八而一。

  〔于徽術,當令此下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,四百七十一而一。

  依垣之周,半於全周。其自乘之冪居全周自乘之冪四分之一,故半全周之法以為法也。〕

  其依垣內角者,〔角,隅也,居圓錐四分之一也。〕

  九而一。

  〔于徽術,當令此下周自乘,而倍之,以高乘之,又以二十五乘之,四百七十一而一。依隅之周,半於依垣。其自乘之冪居依垣自乘之冪四分之一,當半依垣之法以為法。法不可半,故倍其實。又此術亦用周三徑一之率。假令以三除周,得徑;若不盡,通分內子,即為徑之積分。令自乘,以高乘之,為三方錐之積分。

  母自相乘得九,為法,又當三而一,得方錐之積。從方錐中求圓錐之積,亦猶方冪求圓冪。乃當三乘之,四而一,得圓錐之積。前求方錐積,乃以三而一;今求圓錐之積,複合三乘之。二母既同,故相准折。惟以四乘分母九,得三十六而連除,圓錐之積。其圓錐之積與平地聚粟同,故三十六而一。

  淳風等按:依密率,以七乘之,其平地者,二百六十四而一;依垣者,一百三十二而一;依隅者,六十六而一也。〕

  程粟一斛積二尺七寸;〔二尺七寸者,謂方一尺,深二尺七寸,凡積二千七百寸。〕

  其米一斛積一尺六寸五分寸之一;〔謂積一千六百二十寸。〕

  其菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三。

  〔謂積二千四百三十寸。此為以精粗為率,而不等其概也。粟率五,米率三,故米一斛于粟一斛,五分之三;菽、荅、麻、麥亦如本率雲。故謂此三量器為概,而皆不合於今斛。當今大司農斛,圓徑一尺三寸五分五厘,正深一尺,于徽術,為積一千四百四十一寸,排成余分,又有十分寸之三。王莽銅斛於今尺為深九寸五分五厘,徑一尺三寸六分八厘七毫。以徽術計之,於今斛為容九斗七升四合有奇。《周官考工記》:朅氏為量,深一尺,內方一尺而圓外,其實一釜。于徽術,此圓積一千五百七十寸。《左氏傳》曰:「齊舊四量:豆、區、釜、鍾。四升曰豆,各自其四,以登于釜。釜十則鍾。」鍾六斛四斗。釜六斗四升,方一尺,深一尺,其積一千寸。若此方積容六斗四升,則通外圓積成旁,容十斗四合一龠五分龠之三也。以數相乘之,則斛之制:方一尺而圓其外,庣旁一厘七毫,冪一百五十六寸四分寸之一,深一尺,積一千五百六十二寸半,容十斗。王莽銅斛與《漢書律曆志》所論斛同。〕

  今有倉,廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬斛。問高几何?答曰:二丈。

  術曰:置粟一萬斛積尺為實。廣、袤相乘為法。實如法而一,得高尺。

  〔以廣袤之冪除積,故得高。按:此術本以廣袤相乘,以高乘之,得此積。

  今還元,置此廣袤相乘為法,除之,故得高也。〕

  今有圓囷,〔圓囷,廩也,亦雲圓囤也。〕

  高一丈三尺三寸少半寸,容米二千斛。問周幾何?答曰:五丈四尺。

  〔于徽術,當周五丈五尺二寸二十分寸之九。

  淳風等按:依密率,為周五丈五尺一百分尺之二十七。〕

  術曰:置米積尺,〔此積猶圓堡昪之積。〕

  以十二乘之,令高而一。所得,開方除之,即周。

  〔于徽術,當置米積尺,以三百一十四乘之,為實。二十五乘囷高為法。所得,開方除之,即周也。此亦據見冪以求周,失之於微少也。晉武庫中有漢時王莽所作銅斛,其篆書字題斛旁雲:律嘉量斛,方一尺而圓其外,庣旁九厘五毫,冪一百六十二寸;深一尺,積一千六百二十寸,容十斗。及斛底雲:律嘉量斗,方尺而圓其外,庣旁九厘五毫,冪一尺六寸二分。深一寸,積一百六十二寸,容一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁,合、龠在斛耳上。後有贊文,與今律曆志同,亦魏晉所常用。今粗疏王莽銅斛文字、尺、寸、分數,然不盡得升、合、勺之文字。按:此術本周自相乘,以高乘之,十二而一,得此積。今還元,置此積,以十二乘之,令高而一,即複本周自乘之數。凡物自乘,開方除之,復其本數。故開方除之,即得也。

  淳風等按:依密率,以八十八乘之,為實。七乘囷高為法。實如法而一。開方除之,即周也。〕

  卷六

  ○均輸(以御遠近勞費)

  今有均輸粟,甲縣一萬戶,行道八日;乙縣九千五百戶,行道十日;丙縣一萬二千三百五十戶,行道十三日;丁縣一萬二千二百戶,行道二十日,各到輸所。

  凡四縣賦當輸二十五萬斛,用車一萬乘。欲以道里遠近、戶數多少衰出之,問粟、車各幾何?答曰:甲縣粟八萬三千一百斛,車三千三百二十四乘。乙縣粟六萬三千一百七十五斛,車二千五百二十七乘。丙縣粟六萬三千一百七十五斛,車二千五百二十七乘。丁縣粟四萬五百五十斛,車一千六百二十二乘。

  術曰:令縣戶數各如其本行道日數而一,以為衰。

  〔按:此均輸,猶均運也。令戶率出車,以行道日數為均,發粟為輸。據甲行道八日,因使八戶共出一車;乙行道十日,因使十戶共出一車。計其在道,則皆戶一日出一車,故可為均平之率也。

  淳風等按:縣戶有多少之差,行道有遠近之異。欲其均等,故各令行道日數約戶為衰。行道多者少其戶,行道少者多其戶。故各令約戶為衰。以八日約除甲縣,得一百二十五,乙、丙各九十五,丁六十一。於今有術,副併為所有率。未並者各為所求率,以賦粟車數為所有數,而今有之,各得車數。一旬除乙,十三除丙,各得九十五;二旬除丁,得六十一也。〕

  甲衰一百二十五,乙、丙衰各九十五,丁衰六十一,副併為法。以賦粟車數乘未並者,各自為實。

  〔衰,分科率。〕

  實如法得一車。

  〔各置所當出車,以其行道日數乘之,如戶數而一,得率:戶用車二日四十七分日之三十一,故謂之均。求此戶以率,當各計車之衰分也。〕

  有分者,上下輩之。

  〔輩,配也。車、牛、人之數不可分裂,推少就多,均賦之宜。今按:甲分既少,宜從於乙。滿法除之,有餘從丙。丁分又少,亦宜就丙。除之適盡。加乙、丙各一,上下輩益,以少從多也。〕

  以二十五斛乘車數,即粟數。

  今有均輸卒:甲縣一千二百人,薄塞;乙縣一千五百五十人,行道一日;丙縣一千二百八十人,行道二日;丁縣九百九十人,行道三日;戊縣一千七百五十人,行道五日。凡五縣賦輸卒一月一千二百人。欲以遠近、人數多少衰出之,問縣各幾何?答曰:甲縣二百二十九人。乙縣二百八十六人。丙縣二百二十八人。

  丁縣一百七十一人。戊縣二百八十六人。

  術曰:令縣卒各如其居所及行道日數而一,以為衰。

  〔按:此亦以日數為均,發卒為輸。甲無行道日,但以居所三十日為率。言欲為均平之率者,當使甲三十人而出一人,乙三十一人而出一人。出一人者,計役則皆一人一日,是以可為均平之率。〕

  甲衰四,乙衰五,丙衰四,丁衰三,戊衰五,副併為法。以人數乘未並者各自為實。實如法而一。

  〔為衰,於今有術,副併為所有率,未並者各為所求率,以賦卒人數為所有數。此術以別,考則意同,以廣異聞,故存之也。各置所當出人數,以其居所及行道日數乘之,如縣人數而一。得率:人役五日七分日之五。〕

  有分者,上下輩之。

  〔輩,配也。今按:丁分最少,宜就戊除。不從乙者,丁近戊故也。滿法除之,有餘從乙。丙分又少,亦就乙除,有餘從甲。除之適盡。從甲、丙二分,其數正等,二者于乙遠近皆同,不以甲從乙者,方以下從上也。〕

  今有均賦粟:甲縣二萬五百二十戶,粟一斛二十錢,自輸其縣;乙縣一萬二千三百一十二戶,粟一斛一十錢,至輸所二百里;丙縣七千一百八十二戶,粟一斛一十二錢,至輸所一百五十里;丁縣一萬三千三百三十八戶,粟一斛一十七錢,至輸所二百五十里;戊縣五千一百三十戶,粟一斛一十三錢,至輸所一百五十里。

  凡五縣賦輸粟一萬斛。一車載二十五斛,與僦一里一錢。欲以縣戶賦粟,令費勞等,問縣各粟幾何?答曰:甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

  術曰:以一里僦價乘至輸所里,〔此以出錢為均也。問者曰:「一車載二十五斛,與僦一里一錢。」一錢,即一里僦價也。以乘里數者,欲知僦一車到輸所所用錢也。甲自輸其縣,則無取僦價也。〕

  以一車二十五斛除之,〔欲知僦一斛所用錢。〕

  加一斛粟價,則致一斛之費。

  〔加一斛之價于一斛僦直,即凡輸粟取僦錢也:甲一斛之費二十,乙、丙各十八,丁二十七,戊十九也。〕

  各以約其戶數,為衰。

  〔言使甲二十戶共出一斛,乙、丙十八戶共出一斛。計其所費,則皆戶一錢,故可為均賦之率也。計經賦之率,既有戶算之率,亦有遠近、貴賤之率。此二率者,各自相與通。通則甲二十,乙十二,丙七,丁十三,戊五。一斛之費謂之錢率。錢率約戶率者,則錢為母,戶為子。子不齊,令母互乘為齊,則衰也。若其不然。以一斛之費約戶數,取衰。並有分,當通分內子,約之,于算甚繁。此一章皆相與通功共率,略相依似。以上二率、下一率亦可放此,從其簡易而已。又以分言之,使甲一戶出二十分斛之一,乙一戶出十八分斛之一,各以戶數乘之,亦可得一縣凡所當輸,俱為衰也。乘之者,乘其子,母報除之。以此觀之,則以一斛之費約戶數者,其意不異矣。然則可置一斛之費而反衰之。約戶,以乘戶率為衰也。合分注曰:「母除為率,率乘子為齊。」反衰注曰:「先同其母,各以分母約,其子為反衰。」以施其率,為算既約,且不妨處下也。〕

  甲衰一千二十六,乙衰六百八十四,丙衰三百九十九,丁衰四百九十四,戊衰二百七十,副併為法。所賦粟乘未並者,各自為實。實如法得一。

  〔各置所當出粟,以其一斛之費乘之,如戶數而一,得率:戶出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一。按:此以出錢為均。問者曰:「一車載二十五斛,與僦一里一錢。」一錢即一里僦價也。以乘里數者,欲知僦一車到輸所用錢。

  甲自輸其縣,則無取僦之價。以一車二十五斛除之者,欲知僦一斛所用錢。加一斛之價于一斛僦直,即凡輸粟取僦錢:甲一斛之費二十,乙、丙各十八,丁二十七,戊一十九。各以約其戶,為衰:甲衰一千二十六,乙衰六百八十四,丙衰三百九十九,丁衰四百九十四,戊衰二百七十。言使甲二十戶共出一斛,乙、丙十八戶共出一斛。計其所費,則皆戶一錢,故可為均賦之率也。於今有術,副併為所有率,未並者各為所求率,賦粟一萬斛為所有數。此今有、衰分之義也。〕

  今有均賦粟:甲縣四萬二千算,粟一斛二十,自輸其縣;乙縣三萬四千二百七十二算,粟一斛一十八,佣價一日一十錢,到輸所七十里;丙縣一萬九千三百二十八算,粟一斛一十六,佣價一日五錢,到輸所一百四十里;丁縣一萬七千七百算,粟一斛一十四,佣價一日五錢,到輸所一百七十五里;戊縣二萬三千四十算,粟一斛一十二,佣價一日五錢,到輸所二百一十里;己縣一萬九千一百三十六算,粟一斛一十,佣價一日五錢,到輸所二百八十里。凡六縣賦粟六萬斛,皆輸甲縣。六人共車,車載二十五斛,重車日行五十里,空車日行七十里,載輸之間各一日。粟有貴賤,佣各別價,以算出錢,令費勞等,問縣各粟幾何?答曰:甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九,丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

  術曰:以車程行空、重相乘為法,並空、重,以乘道里,各自為實,實如法得一日。

  〔按:此術重往空還,一輸再行道也。置空行一里用七十分日之一,重行一里用五十分日之一。齊而同之,空、重行一里之路,往返用一百七十五分日之六。

  完言之者,一百七十五里之路,往返用六日也。故並空、重者,齊其子也;空、重相乘者,同其母也。於今有術,至輸所里為所有數,六為所求率,一百七十五為所有率,而今有之,即各得輸所用日也。〕

  載入輸各一日,〔故得凡日也。〕

  而以六人乘之,〔欲知致一車用人也。〕

  又以佣價乘之,〔欲知致車人佣直幾錢。〕

  以二十五斛除之,〔欲知致一斛之佣直也。〕

  加一斛粟價,即致一斛之費。

  〔加一斛之價于致一斛之佣直,即凡輸一斛粟取佣所用錢。〕

  各以約其算數為衰,〔今按:甲衰四十二,乙衰二十四,丙衰十六,丁衰十五,戊衰二十,己衰十六。於今有術,副併為所有率,未並者各自為所求率,所賦粟為所有數。此今有、衰分之義也。〕

  副併為法,以所賦粟乘未並者,各自為實。實如法得一斛。

  〔各置所當出粟,以其一斛之費乘之,如算數而一,得率:算出九錢一百三十三分錢之三。又載輸之間各一日者,即二日也。〕

  今有粟七斗,三人分舂之,一人為糲米,一人為粺米,一人為米,令米數等。問取粟、為米各幾何?答曰:糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十。

  粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之七十三。為米各一斗六百五分斗之一百五十一。

  術曰:列置糲米三十,粺米二十七,米二十四,而反衰之。

  〔此先約三率:糲為十,粺為九,為八。欲令米等者,其取粟:糲率十分之一,粺率九分之一,率八分之一。當齊其子,故曰反衰也。

  淳風等按:米有精粗之異,粟有多少之差。據率,粺、少而糲多;用粟,則粺、多而糲少。米若依本率之分,粟當倍率,故今反衰之,使精取多而粗得少。〕

  副併為法。以七斗乘未並者,各自為取粟實。實如法得一斗。

  〔於今有術,副併為所有率,未並者各為所求率,粟七斗為所有數,而今有之,故各得取粟也。〕

  若求米等者,以本率各乘定所取粟為實,以粟率五十為法,實如法得一斗。

  〔若徑求為米等數者,置糲米三,用粟五;粺米二十七,用粟五十;米十二,用粟二十五。齊其粟,同其米,並齊為法。以七斗乘同為實。所得,即為米斗數。〕

  今有人當稟粟二斛。倉無粟,欲與米一、菽二,以當所稟粟。問各幾何?答曰;米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。

  術曰:置米一、菽二,求為粟之數。並之,得三、九分之八,以為法。亦置米一、菽二,而以粟二斛乘之,各自為實。實如法得一斛。

  〔淳風等按:置粟率五,乘米一,米率三除之,得一、三分之二,即是米一之粟也;粟率十,以乘菽二,菽率九除之,得二、九分之二,即是菽二之粟也。

  並全,得三。齊子,並之,得二十四;同母,得二十七;約之,得九分之八。故雲「並之,得三、九分之八」。米一、菽二當粟三、九分之八,此其粟率也。於今有術,米一、菽二皆為所求率,當粟三、九分之八,為所有率,粟二斛為所有數。凡言率者,當相與。通之,則為米九、菽十八,當粟三十五也。亦有置米一、菽二,求其為粟之率,以為列衰。副併為法,以粟乘列衰為實。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之,即合所問。〕

  今有取佣,負鹽二斛,行一百里,與錢四十。今負鹽一斛七斗三升少半升,行八十里。問與錢幾何?答曰:二十七錢一十五分錢之一十一。

  術曰:置鹽二斛升數,以一百里乘之為法。

  〔按:此術以負鹽二斛升數乘所行一百里,得二萬里。是為負鹽一升行二萬里,得錢四十。於今有術,為所有率。〕

  以四十錢乘今負鹽升數,又以八十里乘之,為實。實如法得一錢。

  〔以今負鹽升數乘所行里,今負鹽一升凡所行里也。於今有術以所有數,四十錢為所求率也。衰分章「貸人千錢」與此同。〕

  今有負籠重一石,行百步,五十返。今負籠重一石一十七斤,行七十六步,問返幾何?答曰:五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。

  術曰:以今所行步數乘今籠重斤數,為法。

  〔此法謂負一斤一返所行之積步也。〕

  故籠重斤數乘故步,又以返數乘之,為實。實如法得一返。

  〔按:此法,負一斤一返所行之積步;此實者一斤一日所行之積步。故以一返之課除終日之程,即是返數也。

  淳風等按:此術,所行步多者得返少,所行步少者得返多。然則故所行者今返率也。故令所得返乘今返之率,為實,而以故返之率為法,今有術也。按:此負籠又有輕重,於是為術者因令重者得返少,輕者得返多。故又因其率以乘法、實者,重今有之義也。然此意非也。按:此籠雖輕而行有限,籠過重則人力遺。

  力有遺而術無窮,人行有限而籠輕重不等。使其有限之力隨彼無窮之變,故知此術率乖理也。若故所行有空行返數,設以問者,當因其所負以為返率,則今返之數可得而知也。假令空行一日六十里,負重一斛行四十里。減重一斗進二里半,負重二斗以下與空行同。今負籠重六斗,往返行一百步,問返幾何?答曰:一百五十返。術曰:置重行率,加十里,以里法通之,為實。以一返之步為法。實如法而一,即得也。〕

  今有程傳委輸,空車日行七十里,重車日行五十里。今載太倉粟輸上林,五日三返,問太倉去上林幾何?答曰:四十八里一十八分里之一十一術曰:並空、重里數,以三返乘之,為法。令空、重相乘,又以五日乘之,為實。實如法得一里。

  〔此亦如上術。率:一百七十五里之路,往返用六日也。於今有術,則五日為所有數,一百七十五里為所求率,六日為所有率。以此所得,則三返之路。今求一返,當以三約之,因令乘法而併除也。為術亦可各置空、重行一里用日之率,以為列衰,副併為法。以五日乘列衰為實。實如法,所得即各空、重行日數也。

  各以一日所行以乘,為凡日所行。三返約之,為上林去太倉之數。按:此術重往空還,一輸再還道。置空行一里用七十分日之一,重行一里用五十分日之一。齊而同之,空、重行一里之路,往返用一百七十五分日之六。完言之者,一百七十五里之路,往返用六日。故並空、重者,並齊也;空、重相乘者,同其母也。於今有術,五日為所有數,一百七十五為所求率,六為所有率。以此所得,則三返之路。今求一返者,當以三約之。故令乘法而併除,亦當約之也。〕

  今有絡絲一斤為練絲一十二兩,練絲一斤為青絲一斤一十二銖。今有青絲一斤,問本絡絲幾何?答曰:一斤四兩一十六銖三十三分銖之一十六。

  術曰:以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法。以青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數,又以絡絲一斤乘,為實。實如法得一斤。

  〔按:練絲一斤為青絲一斤十二銖,此練率三百八十四,青率三百九十六也。

  又絡絲一斤為練絲十二兩,此絡率十六,練率十二也。置今有青絲一斤,以練率三百八十四乘之,為實。實如青絲率三百九十六而一。所得,青絲一斤,練絲之數也。又以絡率十六乘之,所得為實;以練率十二為法。所得,即練絲用絡絲之數也。是謂重今有也。雖各有率,不問中間。故令后實乘前實,后法乘前法而併除也。故以練絲兩數為實,青絲銖數為法。一曰:又置絡絲一斤兩數與練絲十二兩,約之,絡得四,練得三。此其相與之率。又置練絲一斤銖數與青絲一斤一十二銖,約之,練得三十二,青得三十三。亦其相與之率。齊其青絲、絡絲,同其二練,絡得一百二十八,青得九十九,練得九十六,即三率悉通矣。今有青絲一斤為所有數,絡絲一百二十八為所求率,青絲九十九為所有率。為率之意猶此,但不先約諸率耳。凡率錯互不通者,皆積齊同用之。放此,雖四五轉不異也。言同其二練者,以明三率之相與通耳,于術無以異也。又一術:今有青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數,為實;以青絲一斤一十二銖為法。所得,即用練絲兩數。以絡絲一斤乘所得為實,以練絲十二兩為法,所得,即用絡絲斤數也。〕

  今有惡粟二十斗,舂之,得糲米九斗。今欲求粺米一十斗,問惡粟幾何?答曰:二十四斗六升八十一分升之七十四。

  術曰:置糲米九斗,以九乘之,為法。亦置粺米十斗,以十乘之,又以惡粟二十斗乘之,為實。實如法得一斗。

  〔按:此術置今有求粺米十斗,以糲米率十乘之,如粺率九而一,即粺化為糲,又以惡粟率二十乘之,如糲率九而一,即糲亦化為惡粟矣。此亦重今有之義。為術之意猶絡絲也。雖各有率,不問中間。故令后實乘前實,后法乘前法而併除之也。〕

  今有善行者行一百步,不善行者行六十步。今不善行者先行一百步,善行者追之。問幾何步及之?答曰:二百五十步。

  術曰:置善行者一百步,減不善行者六十步,余四十步,以為法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步,為實。實如法得一步。

  〔按:此術以六十步減一百步,余四十步,即不善行者先行率也;善行者行一百步,追及率。約之,追及率得五,先行率得二。於今有術,不善行者先行一百步為所有數,五為所求率,二為所有率,而今有之,得追及步也。〕

  今有不善行者先行一十里,善行者追之一百里,先至不善行者二十里。問善行者幾何里及之?答曰:三十三里少半里。

  術曰:置不善行者先行一十里,以善行者先至二十里增之,以為法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里,為實。實如法得一里。

  〔按:此術不善行者既先行一十里,后不及二十里,並之,得三十里也,謂之先行率。善行者一百里為追及率。約之,先行率得三,三為所有率,而今有之,即得也。其意如上術也。〕

  今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。問犬不止,復行幾何步及之?答曰:一百七步七分步之一。

  術曰:置兔先走一百步,以犬走不及三十步減之,余為法。以不及三十步乘犬追步數為實。實如法得一步。

  〔按:此術以不及三十步減先走一百步,余七十步,為兔先走率。犬行二百五十步為追及率。約之,先走率得七,追及率得二十五。於今有術,不及三十步為所有數,二十五為所求率,七為所有率,而今有之,即得也。〕

  今有人持金十二斤出關,關稅之,十分而取一。今關取金二斤,償錢五千。

  問金一斤值錢幾何?答曰:六千二百五十。

  術曰:以一十乘二斤,以十二斤減之,余為法。以一十乘五千為實。實如法得一錢。

  〔按:此術置十二斤,以一乘之,十而一,得一斤五分斤之一,即所當稅者也。減二斤,余即關取盈金。以盈除所償錢,即金值也。今術既以十二斤為所稅,則是以十為母,故以十乘二斤及所償錢,通其率。於今有術,五千錢為所有數,十為所求率,八為所有率,而今有之,即得也。〕

  今有客馬,日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一,主人乃覺。持衣追及,與之而還;至家視日四分之三。問主人馬不休,日行幾何?答曰:七百八十里。

  術曰:置四分日之三,除三分日之一,〔按:此術「置四分日之三,除三分日之一」者,除,其減也。減之餘,有十二分之五,即是主人追客還用日率也。〕

  半其餘,以為法。

  〔去其還,存其往。率之者,子不可半,故倍母,二十四分之五。是為主人與客均行用日之率也。〕

  副置法,增三分日之一。

  〔法二十四分之五者,主人往追用日之分也。三分之一者,客去主人未覺之前獨行用日之分也。並連此數,得二十四分日之十三,則主人追及前用日之分也。


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