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  〔淳風等按:小之率十三半,宜以母二通之,以乘本麥之數。術欲從省,先以等數九約之,所求之率得三,所有之率得十也。〕

  今有麥一斗,欲為大。問得幾何?答曰:為大抃一斗二升。

  術曰:以麥求大,六之,五而一。

  〔淳風等按:大之率五十有四,合以麥數乘此率。術欲從省,先以等數九約之,所求之率得六,所有之率得五也。〕

  今有出錢一百六十,買瓴甓十八枚。

  〔瓴甓,磚也。〕

  問枚幾何?答曰:一枚八錢九分錢之八。

  今有出錢一萬三千五百,買竹二千三百五十個。問個幾何?答曰:一個,五錢四十七分錢之三十五。

  經率術曰:以所買率為法,所出錢數為實,實如法得一。

  〔此術猶經分。

  淳風等按:今有之義,以所求率乘所有數,合以瓴甓一枚乘錢一百六十為實。

  但以一乘不長,故不復乘,是以徑將所買之率與所出之錢為法、實也。又按:此今有之義。出錢為所有數,一枚為所求率,所買為所有率,而今有之,即得所求數。一乘不長,故不復乘,是以徑將所買之率為法,以所出之錢為實,實如法得一枚錢。不盡者,等數而命分。〕

  今有出錢五千七百八十五,買漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之,問斗幾何?答曰:一斗,三百四十五錢五百三分錢之一十五。

  今有出錢七百二十,買縑一匹二丈一尺。欲丈率之,問丈幾何?答曰:一丈,一百一十八錢六十一分錢之二。

  今有出錢二千三百七十,買布九匹二丈七尺。欲匹率之,問匹幾何?答曰:一匹,二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四。

  今有出錢一萬三千六百七十,買絲一石二鈞一十七斤。欲石率之,問石幾何?答曰:一石,八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八。

  術曰:以求所率乘錢數為實,以所買率為法,實如法得一。

  〔淳風等按:今有之義,錢為所求率,物為所有數,故以乘錢,又以分母乘之為實。實如法而一,有分者通之。所買通分內子為所有率,故以為法。得錢數不盡而命分者,因法為母,實余為子。實見不滿,故以命之。〕

  今有出錢五百七十六,買竹七十八個。欲其大小率之,問各幾何?答曰:其四十八個,個七錢;其三十個,個八錢。

  今有出錢一千一百二十,買絲一石二鈞十八斤。欲其貴賤斤率之,問各幾何?答曰:其二鈞八斤,斤五錢;其一石一十斤,斤六錢。

  今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤石率之,問各幾何?答曰:其一鈞九兩一十二銖,石八千五十一錢;其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖,石八千五十二錢。

  今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤鈞率之,問各幾何?答曰:其七斤一十兩九銖,鈞二千一十二錢;其一石二鈞二十斤八兩二十銖,鈞二千一十三錢。

  今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤斤率之,問各幾何?答曰:其一石二鈞七斤十兩四銖,斤六十七錢;其二十斤九兩一銖,斤六十八錢。

  今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤兩率之,問各幾何?答曰:其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖,兩四錢;其一鈞一十斤五兩四銖,兩五錢。

  其率術曰:各置所買石、鈞、斤、兩以為法,以所率乘錢數為實,實如法而一。不滿法者,反以實減法。法賤實貴。其求石、鈞、斤、兩,以積銖各除法、實,各得其積數,余各為銖。

  〔其率知,欲令無分。按:出錢五百七十六,買竹七十八個,以除錢,得七,實余三十,是為三十個復可增一錢。然則實余之數即是貴者之數,故曰實貴也。

  本以七十八個為法,今以貴者減之,則其餘悉是賤者之數。故曰法賤也。其求石、鈞、斤、兩,以積銖各除法、實,各得其積數,余各為銖者,謂石、鈞、斤、兩積銖除實,又以石、鈞、斤、兩積銖除法,余各為銖,即合所問。〕

  今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤銖率之,問各幾何?答曰:其一鈞二十斤六兩十一銖,五銖一錢;其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖,六銖一錢。

  今有出錢六百二十,買羽二千一百翭。

  〔翭,羽本也。數羽稱其本,猶數草木稱其根株。〕

  欲其貴賤率之,問各幾何?答曰:其一千一百四十翭,三翭一錢;其九百六十翭,四翭錢。

  今有出錢九百八十,買矢干五千八百二十枚。欲其貴賤率之,問各幾何?答曰:其三百枚,五枚一錢;其五千五百二十枚,六枚一錢。

  反其率術曰:以錢數為法,所率為實,實如法而一。不滿法者,反以實減法。法少實多。二物各以所得多少之數乘法、實,即物數。

  〔按:其率:出錢六百二十,買羽二千一百翭。反之,當二百四十錢,一錢翭;其三百八十錢,一錢三翭。是錢有二價,物有貴賤。故以羽乘錢,反其率也。

  淳風等按:其率者,錢多物少;反其率知,錢少物多;多少相反,故曰反其率也。其率者,以物數為法,錢數為實。反之知,以錢數為法,物數為實。不滿法知,實余也。當以余物化為錢矣。法為凡錢,而今以化錢減之,故以實減法。

  法少知,經分之所得,故曰法少;實多者,余分之所益,故曰實多。乘實宜以多,乘法宜以少,故曰各以其所得多少之數乘法、實,即物數。〕

  卷三

  ○衰分(以御貴賤稟稅)

  衰分〔衰分,差也。〕

  術曰:各置列衰;〔列衰,相與率也。重疊,則可約。〕

  副併為法,以所分乘未並者,各自為實。實如法而一。

  〔法集而衰別。數,本一也。今以所分乘上別,以下集除之,一乘一除,適足相消,故所分猶存,且各應率而別也。於今有術,列衰各為所求率,副併為所有率,所分為所有數。又以經分言之,假令甲家三人,乙家二人,丙家一人,並六人,共分十二,為人得二也。欲復作逐家者,則當列置人數,以一人所得乘之。

  今此術先乘而後除也。〕

  不滿法者,以法命之。

  今有大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,共獵得五鹿。欲以爵次分之,問各得幾何?答曰:大夫得一鹿三分鹿之二;不更得一鹿三分鹿之一;簪裊得一鹿;上造得三分鹿之二;公士得三分鹿之一。

  術曰:列置爵數,各自為衰。

  〔爵數者,謂大夫五,不更四,簪裊三,上造二,公士一也。《墨子號令篇》以爵級為賜,然則戰國之初有此名也。〕

  副併為法。以五鹿乘未並者各自為實。實如法得一鹿。

  〔今有術,列衰各為所求率,副併為所有率,今有鹿數為所有數,而今有之,即得。〕

  今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五斗。羊主曰:「我羊食半馬。」馬主曰:「我馬食半牛。」今欲衰償之,問各出幾何?答曰:牛主出二斗八升七分升之四;馬主出一斗四升七分升之二;羊主出七升七分升之一。

  術曰:置牛四、馬二、羊一,各自為列衰,副併為法。以五斗乘未並者各自為實。實如法得一斗。

  〔淳風等按:此術問意,羊食半馬,馬食半牛,是謂四羊當一牛,二羊當一馬。今術置羊一、馬二、牛四者,通其率以為列衰。〕

  今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關,關稅百錢。欲以錢數多少衰出之,問各幾何?答曰:甲出五十一錢一百九分錢之四十一;乙出三十二錢一百九分錢之一十二;丙出一十六錢一百九分錢之五十六。

  術曰:各置錢數為列衰,副併為法。以百錢乘未並者,各自為實。實如法得一錢。

  〔淳風等按:此術甲、乙、丙持錢數以為列衰,副併為所有率,未並者各為所求率,百錢為所有數,而今有之,即得。〕

  今有女子善織,日自倍,五日織五尺。問日織幾何?答曰:初日織一寸三十一分寸之十九;次日織三寸三十一分寸之七;次日織六寸三十一分寸之十四;次日織一尺二寸三十一分寸之二十八;次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。

  術曰:置一、二、四、八、十六為列衰,副併為法。以五尺乘未並者,各自為實。實如法得一尺。

  今有北鄉算八千七百五十八,西鄉算七千二百三十六,南鄉算八千三百五十六。凡三鄉發徭三百七十八人。欲以算數多少衰出之,問各幾何?答曰:北鄉遣一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七;西鄉遣一百一十二人一萬二千一百七十五分人之四千四;南鄉遣一百二十九人一萬二千一百七十五分人之八千七百九。

  術曰:各置算數為列衰,〔淳風等按:三鄉算數,約,可半者,為列衰。〕

  副併為法。以所發徭人數乘未並者,各自為實。實如法得一人。

  〔按:此術,今有之義也。〕

  今有稟粟,大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,一十五斗。今有大夫一人後來,亦當稟五斗。倉無粟,欲以衰出之,問各幾何?答曰:大夫出一斗四分斗之一;不更出一斗;簪裊出四分斗之三;上造出四分斗之二;公士出四分斗之一。

  術曰:各置所稟粟斛,斗數、爵次均之,以為列衰。副並而加後來大夫亦五斗,得二十以為法。以五斗乘未並者,各自為實。實如法得一斗。

  〔稟前五人十五斗者,大夫得五斗,不更得四斗,簪裊得三斗,上造得二斗,公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少減與後來大夫,即與前來大夫同。據前來大夫已得五斗,故言亦也。各以所得斗數為衰,並得十五,而加後來大夫亦五斗,凡二十,為法也。是為六人共出五斗,後來大夫亦俱損折。今有術,副併為所有率,未並者各為所求率,五斗為所有數,而今有之,即得。〕

  今有稟粟五斛,五人分之。欲令三人得三,二人得二,問各幾何?答曰:三人,人得一斛一斗五升十三分升之五;二人,人得七斗六升十三分升之十二。

  術曰:置三人,人三;二人,人二,為列衰。副併為法。以五斛乘未並者各自為實。實如法得一斛。

  反衰術曰:列置衰而令相乘,動者為不動者衰。

  今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人,共出百錢。欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?答曰:大夫出八錢一百三十七分錢之一百四;不更出一十錢一百三十七分錢之一百三十;簪裊出一十四錢一百三十七分錢之八十二;上造出二十一錢一百三十七分錢之一百二十三;公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九。

  術曰:置爵數,各自為衰,而反衰之。副併為法。以百錢乘未並者,各自為實。實如法得一錢。

  〔以爵次言之,大夫五、不更四。欲令高爵得多者,當使大夫一人受五分,不更一人受四分。人數為母,分數為子。母同則子齊,齊即衰也。故上衰分宜以五、四為列焉。今此令高爵出少,則當大夫五人共出一人分,不更四人共出一人分,故謂之反衰。人數不同,則分數不齊。當令母互乘子。母互乘子,則動者為不動者衰也。亦可先同其母,各以分母約,其子為反衰。副併為法。以所分乘未並者,各自為實。實如法而一。〕

  今有甲持粟三升,乙持糲米三升,丙持糲飯三升。欲令合而分之,問各幾何?答曰:甲二升一十分升之七;乙四升一十分升之五;丙一升一十分升之八。

  術曰:以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五為衰,而反衰之。副併為法。

  以九升乘未並者,各自為實。實如法得一升。

  〔按:此術,三人所持升數雖等,論其本率,精粗不同。米率雖少,令最得多;飯率雖多,反使得少。故令反之,使精得多而粗得少。於今有術,副併為所有率,未並者各為所求率,九升為所有數,而今有之,即得。〕

  今有絲一斤,價直二百四十。今有錢一千三百二十八,問得絲幾何?答曰:五斤八兩一十二銖五分銖之四。

  術曰:以一斤價數為法,以一斤乘今有錢數為實。實如法得絲數。

  〔按:此術今有之義,以一斤價為所有率,一斤為所求率,今有錢為所有數,而今有之,即得。〕

  今有絲一斤,價直三百四十五。今有絲七兩一十二銖,問得錢幾何?答曰:一百六十一錢三十二分錢之二十三。

  術曰:以一斤銖數為法,以一斤價數乘七兩一十二銖為實。實如法得錢數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以絲一斤銖數為所有率,價錢為所求率,今有絲為所有數,而今有之,即得。〕

  今有縑一丈,價直一百二十八。今有縑一匹九尺五寸,問得錢幾何?答曰:六百三十三錢五分錢之三。

  術曰:以一丈寸數為法,以價錢數乘今有縑寸數為實。實如法得錢數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以縑一丈寸數為所有率,價錢為所求率,今有縑寸數為所有數,而今有之,即得。〕

  今有布一匹,價直一百二十五。今有布二丈七尺,問得錢幾何?答曰:八十四錢八分錢之三。

  術曰:以一匹尺數為法,今有布尺數乘價錢為實。實如法得錢數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以一匹尺數為所有率,價錢為所求率,今有布為所有數,今有之,即得。〕

  今有素一匹一丈,價直六百二十五。今有錢五百,問得素幾何?答曰:得素一匹。

  術曰:以價直為法,以一匹一丈尺數乘今有錢數為實。實如法得素數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以價錢為所有率,五丈尺數為所求率,今有錢為所有數,今有之,即得。〕

  今有與人絲一十四斤,約得縑一十斤。今與人絲四十五斤八兩,問得縑幾何?答曰:三十二斤八兩。

  術曰:以一十四斤兩數為法,以一十斤乘今有絲兩數為實。實如法得縑數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以一十四斤兩數為所有率,一十斤為所求率,今有絲為所有數,而今有之,即得。〕

  今有絲一斤,耗七兩。今有絲二十三斤五兩,問耗幾何?答曰:一百六十三兩四銖半。

  術曰:以一斤展十六兩為法。以七兩乘今有絲兩數為實。實如法得耗數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以一斤為十六兩為所有率,七兩為所求率,今有絲為所有數,而今有之,即得。〕

  今有生絲三十斤,干之,耗三斤十二兩。今有乾絲一十二斤,問生絲幾何?答曰:一十三斤一十一兩十銖七分銖之二。

  術曰:置生絲兩數,除耗數,余,以為法。

  〔餘四百二十兩,即乾絲率。〕

  三十斤乘乾絲兩數為實。實如法得生絲數。

  〔凡所得率,如細則俱細,粗則俱粗,兩數相抱而已。故品物不同,如上縑、絲之比,相與率焉。三十斤凡四百八十兩,今生絲率四百八十兩,今乾絲率四百二十兩,則其數相通。可俱為銖,可俱為兩,可俱為斤,,無所歸滯也。若然,宜以所有乾絲斤數乘生絲兩數為實。今以斤、兩錯互而亦同歸者,使乾絲以兩數為率,生絲以斤數為率,譬之異類,亦各有一定之勢。

  淳風等按:此術,置生絲兩數,除耗數,余即乾絲之率,於今有術為所有率;三十斤為所求率,乾絲兩數為所有數。凡所為率者,細則俱細,粗則俱粗。今有一斤乘兩知,乾絲即以兩數為率,生絲即以斤數為率,譬之異物,各有一定之率也。〕

  今有田一畝,收粟六升太半升。今有田一頃二十六畝一百五十九步,問收粟幾何?答曰:八斛四斗四升一十二分升之五。

  術曰:以畝二百四十步為法。以六升太半升乘今有田積步為實。實如法得粟數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以一畝步數為所有率,六升太半升為所求率,今有田積步為所有數,而今有之,即得。〕

  今有取保,一歲價錢二千五百。今先取一千二百,問當作日幾何?答曰:一百六十九日二十五分日之二十三。

  術曰:以價錢為法,以一歲三百五十四日乘先取錢數為實。實如法得日數。

  〔淳風等按:此術亦今有之義。以價為所有率,一歲日數為所求率,取錢為所有數,而今有之,即得。〕

  今有貸人千錢,月息三十。今有貸人七百五十錢,九日歸之,問息幾何?答曰:六錢四分錢之三。

  術曰:以月三十日乘千錢為法。

  〔以三十日乘千錢為法者,得三萬,是為貸人錢三萬,一日息三十也。〕

  以息三十乘今所貸錢數,又以九日乘之,為實。實如法得一錢。

  〔以九日乘今所貸錢為今一日所有錢,於今有術為所有數,息三十為所求率;三萬錢為所有率。此又可以一月三十日約息三十錢,為十分一日,以乘今一日所有錢為實;千錢為法。為率者,當等之於一也。故三十日或可乘本,或可約息,皆所以等之也。〕

  卷四

  ○少廣(以御積冪方圓)

  少廣〔淳風等按:一畝之田,廣一步,長二百四十步。今欲截取其從少,以益其廣,故曰少廣。〕

  術曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘諸分子及全步,〔淳風等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齊其子也。〕

  各以其母除其子,置之於左,命通分者,又以分母遍乘諸分子及已通者,皆通而同之。並之為法。

  〔淳風等按:諸子悉通,故可並之為法。亦宜用合分術,列數尤多,若用乘則算數至繁,故別制此術,從省約。〕

  置所求步數,以全步積分乘之為實。

  〔此以田廣為法,以畝積步為實。法有分者,當同其母,齊其子,以同乘法實,而並齊於法。今以分母乘全步及子,子如母而一,並以並全法,則法實俱長,意亦等也。故如法而一,得從步數。〕

  實如法而一,得從步。

  今有田廣一步半。求田一畝,問從幾何?答曰:一百六十步。

  術曰:下有半,是二分之一。以一為二,半為一,並之,得三,為法。置田二百四十步,亦以一為二乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:一百三十步一十一分步之一十。

  術曰:下有三分,以一為六,半為三,三分之一為二,並之,得一十一,為法。置田二百四十步,亦以一為六乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:一百一十五步五分步之一。

  術曰:下有四分,以一為一十二,半為六,三分之一為四,四分之一為三,並之,得二十五,以為法。置田二百四十步,亦以一為一十二乘之,為實。實如法而一,得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。

  術曰:下有五分,以一為六十,半為三十,三分之一為二十,四分之一為一十五,五分之一為一十二,並之,得一百三十七,以為法。置田二百四十步,亦以一為六十乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。

  術曰:下有六分,以一為一百二十,半為六十,三分之一為四十,四分之一為三十,五分之一為二十四,六分之一為二十,並之,得二百九十四,以為法。

  置田二百四十步,亦以一為一百二十乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。

  術曰:下有七分,以一為四百二十,半為二百一十,三分之一為一百四十,四分之一為一百五,五分之一為八十四,六分之一為七十,七分之一為六十,並之,得一千八十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為四百二十乘之,為實。

  實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:八十八步七百六十一分步之二百三十二。

  術曰:下有八分,以一為八百四十,半為四百二十,三分之一為二百八十,四分之一為二百一十,五分之一為一百六十八,六分之一為一百四十,七分之一為一百二十,八分之一為一百五,並之,得二千二百八十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八百四十乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

  術曰:下有九分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,並之,得七千一百二十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝、問從幾何?答曰:八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

  術曰:下有一十分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,十分之一為二百五十二,並之,得七千三百八十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。

  術曰:下有一十一分,以一為二萬七千七百二十,半為一萬三千八百六十,三分之一為九千二百四十,四分之一為六千九百三十,五分之一為五千五百四十四,六分之一為四千六百二十,七分之一為三千九百六十,八分之一為三千四百六十五,九分之一為三千八十,一十分之一為二千七百七十二,一十一分之一為二千五百二十,並之,得八萬三千七百一十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二萬七千七百二十乘之,為實。實如法得從步。

  今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。

  術曰:下有一十二分,以一為八萬三千一百六十,半為四萬一千五百八十,三分之一為二萬七千七百二十,四分之一為二萬七百九十,五分之一為一萬六千六百三十二,六分之一為一萬三千八百六十,七分之一為一萬一千八百八十,八分之一為一萬三百九十五,九分之一為九千二百四十,一十分之一為八千三百一十六,十一分之一為七千五百六十,十二分之一為六千九百三十,並之,得二十五萬八千六十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八萬三千一百六十乘之,為實。實如法得從步。

  〔淳風等按:凡為術之意,約省為善。宜雲「下有一十二分,以一為二萬七千七百二十,半為一萬三千八百六十,三分之一為九千二百四十,四分之一為六千九百三十,五分之一為五千五百四十四,六分之一為四千六百二十,七分之一為三千九百六十,八分之一為三千四百六十五,九分之一為三千八十,十分之一為二千七百七十二,十一分之一為二千五百二十,十二分之一為二千三百一十,並之,得八萬六千二十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二萬七千七百二十乘之,以為實。實如法得從步。」其術亦得知,不繁也。〕

  今有積五萬五千二百二十五步,問為方几何?答曰:二百三十五步。

  又有積二萬五千二百八十一步,問為方几何?答曰:一百五十九步。

  又有積七萬一千八百二十四步,問為方几何?答曰:二百六十八步。

  又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一,問為方几何?答曰:七百五十一步半。

  又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步,問為方几何?答曰:六萬三千二十五步。

  ○開方

  〔求方冪之一面也。〕

  術曰:置積為實。借一算,步之,超一等。

  〔言百之面十也。言萬之面百也。〕

  議所得,以一乘所借一算為法,而以除。

  〔先得黃甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕

  除已,倍法為定法。

  〔倍之者,豫張兩面朱冪定袤,以待復除,故曰定法。〕

  其復除,折法而下。

  〔欲除朱冪者,本當副置所得成方,倍之為定法,以折、議、乘,而以除。

  如是當復步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕

  復置借算,步之如初。以複議一乘之,〔欲除朱冪之角黃乙之冪,其意如初之所得也。〕

  所得副以加定法,以除。以所得副從定法。

  〔再以黃乙之面加定法者,是則張兩青冪之袤。〕

  復除,折下如前。若開之不盡者,為不可開,當以面命之。

  〔術或有以借算加定法而命分者,雖粗相近,不可用也。凡開積為方,方之自乘當還復有積分。令不加借算而命分,則常微少;其加借算而命分,則又微多。

  其數不可得而定。故惟以面命之,為不失耳。譬猶以三除十,以其餘為三分之一,而復其數可以舉。不以面命之,加定法如前,求其微數。微數無名者以為分子,其一退以十為母,其再退以百為母。退之彌下,其分彌細,則朱冪雖有所棄之數,不足言之也。〕

  若實有分者,通分內子為定實,乃開之。訖,開其母,報除。

  〔淳風等按:分母可開者,並通之積先合二母。既開之後,一母尚存,故開分母,求一母為法,以報除也。〕

  若母不可開者,又以母乘定實,乃開之。訖,令如母而一。

  〔淳風等按:分母不可開者,本一母也。又以母乘之,乃合二母。既開之後,亦一母存焉,故令一母而一,得全面也。

  又按:此術「開方」者,求方冪之面也。借一算者,假借一算,空有列位之名,而無除積之實。方隅得面,是故借算列之於下。「步之超一等」者,方十自乘,其積有百,方百自乘,其積有萬,故超位,至百而言十,至萬而言百。「議所得,以一乘所借算為法,而以除」者,先得黃甲之面,以方為積者兩相乘,故開方除之,還令兩面上下相命,是自乘而除之。「除已,倍法為定法」者,實積未盡,當復更除,故豫張兩面朱冪袤,以待復除,故曰定法。「其復除,折法而下」者,欲除朱冪,本當副置所得成方,倍之為定法,以折、議、乘之,而以除,如是,當復步之而止,乃得相命。故使就上折之而下。「復置借算,步之如初,以複議一乘之,所得副以加定法,以定法除」者。欲除朱冪之角黃乙之冪。「以所得副從定法」者,再以黃乙之面加定法,是則張兩青冪之袤,故如前開之,即合所問。〕

  今有積一千五百一十八步四分步之三。問為圓周幾何?答曰:一百三十五步。

  〔于徽術,當周一百三十八步一十分步之一。

  淳風等按:此依密率,為周一百三十八步五十分步之九。〕

  又有積三百步,問為圓周幾何?答曰:六十步。

  〔于徽術,當周六十一步五十分步之十九。

  淳風等按:依密率,為周六十一步一百分步之四十一。〕

  開圓術曰:置積步數,以十二乘之,以開方除之,即得周。

  〔此術以周三徑一為率,與舊圓田術相返復也。于徽術,以三百一十四乘積,如二十五而一,所得,開方除之,即周也。開方除之,即徑。是為據見冪以求周,猶失之於微少。其以二百乘積,一百五十七而一,開方除之,即徑,猶失之於微多。

  淳風等按:此注于徽術求周之法,其中不用「開方除之,即徑」六字,今本有者,衍剩也。依密率,八十八乘之,七而一。按周三徑一之率,假令周六徑二,半周半徑相乘得冪三,周六自乘得三十六。俱以等數除冪,得一周之數十二也。其積:本周自乘,合以一乘之,十二而一,得積三也。術為一乘不長,故以十二而一,得此積。今還原,置此積三,以十二乘之者,復其本周自乘之數。凡物自乘,開方除之,復其本數,故開方除之,即周。〕

  今有積一百八十六萬八百六十七尺,〔此尺謂立方尺也。凡物有高、深而言積者,曰立方。〕

  問為立方几何?答曰:一百二十三尺。

  又有積一千九百五十三尺八分尺之一,問為立方几何?答曰:一十二尺半。

  又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,問為立方几何?答曰:三十九尺八分尺之七。

  又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,問為立方几何?答曰:一百二十四尺太半尺。

  開立方〔立方適等,求其一面也。〕

  術曰:置積為實。借一算,步之,超二等。

  〔言千之面十,言百萬之面百。〕

  議所得,以再乘所借一算為法,而除之。

  〔再乘者,亦求為方冪。以上議命而除之,則立方等也。〕

  除已,三之為定法。

  〔為當復除,故豫張三面,以定方冪為定法也。〕

  復除,折而下。

  〔復除者,三面方冪以皆自乘之數,須得折、議,定其厚薄爾。開平冪者,方百之面十;開立冪者,方千之面十。據定法已有成方之冪,故復除當以千為百,折下一等也。〕

  以三乘所得數,置中行。

  〔設三廉之定長。〕

  復借一算,置下行。

  〔欲以為隅方。立方等未有定數,且置一算定其位。〕

  步之,中超一,下超二等。

  〔上方法,長自乘而一折,中廉法,但有長,故降一等;下隅法,無面長,故又降一等也。〕

  復置議,以一乘中,〔為三廉備冪也。〕

  再乘下,〔令隅自乘,為方冪也。〕

  皆副以加定法。以定法除。

  〔三面、三廉、一隅皆已有冪,以上議命之而除,去三冪之厚也。〕

  除已,倍下,並中,從定法。

  〔凡再以中、三以下,加定法者,三廉各當以兩面之冪連於兩方之面,一隅連於三廉之端,以待復除也。言不盡意,解此要當以棋,乃得明耳。〕

  復除,折下如前。開之不盡者,亦為不可開。

  〔術亦有以定法命分者,不如故冪開方,以微數為分也。〕

  若積有分者,通分內子為定實。定實乃開之。訖,開其母以報除。

  〔淳風等按:分母可開者,並通之積先合三母。既開之後一母尚存,故開分母,求一母,為法,以報除也。〕

  若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一。

  〔淳風等按:分母不可開者,本一母也。又以母再乘之,令合三母。既開之後,一母猶存,故令一母而一,得全面也。

  按:「開立方」知,立方適等,求其一面之數。「借一算,步之,超二等」者,但立方求積,方再自乘,就積開之,故超二等,言千之面十,言百萬之面百。

  「議所得,以再乘所借算為法,而以除」知,求為方冪,以議命之而除,則立方等也。「除已,三之為定法」,為積未盡,當復更除,故豫張三面已定方冪為定法。「復除,折而下」知,三面方冪皆已有自乘之數,須得折、議定其厚薄。據開平方,百之面十,其開立方,即千之面十。而定法已有成方之冪,故復除之者,當以千為百,折下一等。「以三乘所得數,置中行」者,設三廉之定長。「復借一算,置下行」者,欲以為隅方,立方等未有數,且置一算定其位也。「步之,中超一,下超二」者,上方法長自乘而一折,中廉法但有長,故降一等,下隅法無面長,故又降一等。「復置議,以一乘中」者,為三廉備冪。「再乘下」,當令隅自乘為方冪。「皆副以加定法,以定法除者,三面、三廉、一隅皆已有冪,以上議命之而除,去三冪之厚。「除已,倍下、並中,從定法」者,三廉各當以兩面之冪連於兩方之面,一隅連於三廉之端,以待復除。其開之不盡者,折下如前,開方,即合所問。「有分者,通分內子開之。訖,開其母以報除」,「可開者,並通之積,先合三母;既開之後,一母尚存,故開分母」者,「求一母為法,以報除。」「若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一」,分母不可開者,本一母,又以母再乘,令合三母,既開之後,亦一母尚存。故令如母而一,得全面也。〕

  今有積四千五百尺。

  〔亦謂立方之尺也。〕

  問為立圓徑幾何?答曰:二十尺。

  〔依密率,立圓徑二十尺,計積四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕

  又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何?答曰:一萬四千三百尺。

  〔依密率,為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三。〕

  開立圓術曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得,開立方除之,即立圓徑。

  〔立圓,即丸也。為術者,蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三,圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二,為丸率九,丸居圓囷又四分之三也。

  置四分自乘得十六,三分自乘得九,故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積,九而一,得立方之積。丸徑與立方等,故開立方而除,得徑也。然此意非也。何以驗之?取立方棋八枚,皆令立方一寸,積之為立方二寸。規之為圓囷,徑二寸,高二寸。又復橫因之,則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬,圓然也。按:合蓋者,方率也,丸居其中,即圓率也。推此言之,謂夫圓囷為方率,豈不闕哉?以周三徑一為圓率,則圓冪傷少;令圓囷為方率,則丸積傷多,互相通補,是以九與十六之率偶與實相近,而丸猶傷多耳。觀立方之內,合蓋之外,雖衰殺有漸,而多少不掩。判合總結,方圓相纏,濃纖詭互,不可等正。欲陋形措意,懼失正理。敢不闕疑,以俟能言者。

  黃金方寸,重十六兩;金丸徑寸,重九兩,率生於此,未曾驗也。《周官考工記》:「朅氏為量,改煎金錫則不耗,不耗然後權之,權之然後准之,准之然後量之。」言煉金使極精,而後分之則可以為率也。令丸徑自乘,三而一,開方除之,即丸中之立方也。假令丸中立方五尺,五尺為句,句自乘冪二十五尺。

  倍之得五十尺,以為弦冪,謂平面方五尺之弦也。以此弦為股,亦以五尺為句,並句股冪得七十五尺,是為大弦冪。開方除之,則大弦可知也。大弦則中立方之長邪,邪即丸徑。故中立方自乘之冪于丸徑自乘之冪,三分之一也。今大弦還乘其冪,即丸外立方之積也。大弦冪開之不盡,令其冪七十五再自乘之,為面,命得外立方積,四十二萬一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘,又以方乘之,得積一百二十五尺,一百二十五尺自乘,為面,命得積,一萬五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五約之,外立方積,六百七十五尺之面,中立方積,二十五尺之面也。

  張衡算又謂立方為質,立圓為渾。衡言質之與中外之渾:六百七十五尺之面,開方除之,不足一,謂外渾積二十六也;內渾,二十五之面,謂積五尺也。今徽令質言中渾,渾又言質,則二質相與之率猶衡二渾相與之率也。衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也。衡又言:「質,六十四之面;渾,二十五之面。」質復言渾,謂居質八分之五也。又雲:方,八之面;圓,五之面。」圓渾相推,知其復以圓囷為方率,渾為圓率也,失之遠矣。衡說之自然欲協其陰陽奇偶之說而不顧疏密矣。雖有文辭,斯亂道破義,病也。置外質積二十六,以九乘之,十六而一,得積十四尺八分尺之五,即質中之渾也。以分母乘全內子,得一百一十七。又置內質積五,以分母乘之,得四十,是謂質居渾一百一十七分之四十,而渾率猶為傷多也。假令方二尺,方四面,並得八尺也,謂之方周。其中令圓徑與方等,亦二尺也。圓半徑以乘圓周之半,即圓冪也。半方以乘方周之半,即方冪也。然則方周知,方冪之率也;圓周知,圓冪之率也。按:如衡術,方周率八之面,圓周率五之面也。令方周六十四尺之面,圓周四十尺之面也。又令徑二尺自乘,得徑四尺之面,是為圓周率十之面,而徑率一之面也。衡亦以周三徑一之率為非,是故更著此法,然增周太多,過其實矣。

  淳風等按:祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷為方率,丸為圓率,乃設新法。祖暅之開立圓術曰:「以二乘積,開立方除之,即立圓徑。其意何也?取立方棋一枚,令立樞於左后之下隅,從規去其右上之廉;又合而衡規之,去其前上之廉。於是立方之棋分而為四,規內棋一,謂之內棋;規外棋三,謂之外棋。

  規更合四棋,復橫斷之。以句股言之,令余高為句,內棋斷上方為股,本方之數,其弦也。句股之法:以句冪減弦冪,則余為股冪。若令余高自乘,減本方之冪,余即內棋斷上方之冪也。本方之冪即此四棋之斷上冪。然則余高自乘,即外三棋之斷上冪矣。不問高卑,勢皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠以演類,借況以析微。按:陽馬方高數參等者,倒而立之,橫截去上,則高自乘與斷上冪數亦等焉。夫疊棋成立積,緣冪勢既同,則積不容異。由此觀之,規之外三棋旁蹙為一,即一陽馬也。三分立方,則陽馬居一,內棋居二可知矣。合八小方成一大方,合八內棋成一合蓋。內棋居小方三分之二,則合蓋居立方亦三分之二,較然驗矣。置三分之二,以圓冪率三乘之,如方冪率四而一,約而定之,以為丸率。

  故曰丸居立方二分之一也。」等數既密,心亦昭晢。張衡放舊,貽哂於後,劉徽循故,未暇校新。夫豈難哉,抑未之思也。依密率,此立圓積,本以圓徑再自乘,十一乘之,二十一而一,得此積。今欲求其本積,故以二十一乘之,十一而一。

  凡物再自乘,開立方除之,復其本數。故立方除之,即丸徑也。〕

  卷五

  ○商功(以御功程積實)

  今有穿地,積一萬尺。問為堅、壤各幾何?答曰:為堅七千五百尺;為壤一萬二千五百尺。

  術曰:穿地四為壤五,〔壤謂息土。〕

  為堅三,〔堅謂築土。〕

  為墟四。

  〔墟謂穿坑。此皆其常率。〕

  以穿地求壤,五之;求堅,三之;皆四而一。

  〔今有術也。〕

  以壤求穿,四之;求堅,三之;皆五而一。以堅求穿,四之;求壤,五之;皆三而一。

  〔淳風等按:此術並今有之義也。重張穿地積一萬尺,為所有數,堅率三、壤率五各為所求率,穿率四為所有率,而今有之,即得。〕

  城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術。

  術曰:並上下廣而半之,〔損廣補狹。〕

  以高若深乘之,又以袤乘之,即積尺。

  〔按:此術「並上下廣而半之」者,以盈補虛,得中平之廣。「以高若深乘之」,得一頭之立冪。「又以袤乘之」者,得立實之積,故為積尺。〕

  今有穿地,袤一丈六尺,深一丈,上廣六尺,為垣積五百七十六尺。問穿地下廣幾何?答曰:三尺五分尺之三。

  術曰:置垣積尺,四之為實。

  〔穿地四,為堅三。垣,堅也。以堅求穿地,當四之,三而一也。〕


上传人 歡樂魚 分享于 2017-12-22 14:54:57